この式は x と y の二次式であり、解くためには整理して平方完成や因数分解の手法を使うことがポイントです。
1. 項をまとめる
まず、x の二次式として整理します。
x^2 + 3xy – 6x + 2y^2 – 11y + 5
ここで x に注目すると、x^2 + (3y-6)x + (2y^2-11y+5) となります。
2. x について平方完成
x^2 + (3y-6)x = x^2 + (3y-6)x + ((3y-6)/2)^2 – ((3y-6)/2)^2 = (x + (3y-6)/2)^2 – ((3y-6)/2)^2
これを式に戻すと、全体は (x + (3y-6)/2)^2 – ((3y-6)/2)^2 + 2y^2 – 11y + 5 となります。
3. y の項をまとめる
平方完成した後、y の二次式部分を整理します。
-((3y-6)/2)^2 + 2y^2 – 11y + 5 = -9y^2/4 + 9y – 9 + 2y^2 – 11y + 5 = (-y^2/4 – 2y – 4) となります。
4. 完全平方の形に書き換える
式全体は (x + (3y-6)/2)^2 – (y^2/4 + 2y + 4) となります。
これを 0 に置くことで、解は (x + (3y-6)/2)^2 = y^2/4 + 2y + 4 となり、y の二次方程式を解くことで x を求めることができます。
まとめ
ポイントは x について平方完成を行い、その後 y の項を整理して解くことです。最初の (x+2y)(x+y) の形にこだわるより、平方完成の手法を使うとスムーズに整理できます。
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