大学数学

代数学の基本定理の証明では、複素数平面上で多項式の絶対値が最小になる点を利用し、その点で多項式が0になることを示します。しかし、証明の途中に出てくる「cやdの存在」「最小値の定理」「テイラー展開による挟撃ち」などは初見では理解しにくい部分で...

1990年の東京大学数学入試問題は、現在でも非常に難しい年度の一つとして語られることがあります。一方で、数学オリンピックも世界トップレベルの数学力を持つ人たちが競う大会であり、単純にどちらが上かを比較するのは簡単ではありません。この記事では...

数学的帰納法という名前を聞くと、「本当に帰納法なのか」「むしろ一般的な結論を導いているので演繹法ではないのか」と疑問に感じる人も少なくありません。実際、数学的帰納法は一般的な意味での帰納法とは少し違った性質を持っています。この記事では、数学...

素数を順番に並べ、その素数自身を指数としたべき乗を3つ足した数が素数になる条件について考えてみます。例えば、n番目の素数をp_nとして、S_n=p_n^{p_n}+p_{n+1}^{p_{n+1}}+p_{n+2}^{p_{n+2}}と定義...

2個のサイコロを同時に振り、出た目の小さい方をX、大きい方をYとする問題は、確率の基本でありながら場合分けが重要な問題です。XとYは単純にサイコロ1個の目とは異なり、2つの目の組み合わせによって決まります。この記事では、XとYの意味を整理し...

線形代数を学んでいると、行列の対角化可能性を判定する重要な定理として「固有空間の次元の和が行列の次数と一致する」という条件に出会います。この定理は大学1、2年次の線形代数で非常に重要な内容ですが、どの本でどのように扱われているのか、また証明...

高校数学が得意で、大学ではさらに数学を深く学びたいと考えている人の中には、「大学数学は高校数学の続きなのか」「どの大学で数学を学ぶのがおすすめなのか」と疑問に感じる人も多くいます。この記事では、高校数学と大学数学の違いやつながり、数学が好き...

理学部数学科というと、卒業後は大学や研究機関で数学の研究を続ける数学者になるイメージを持たれることがあります。しかし実際には、数学科で身につけた論理的思考力や抽象的な問題解決能力を活かして、数学者とは異なる分野の研究職へ進む人も存在します。...

位相空間では、ハウスドルフ性や列の収束の一意性は密接に関係しています。しかし、一般の位相空間では「収束する点列の極限が一意である」ことと「ハウスドルフ空間である」ことは同値ではありません。この記事では、与えられた性質＊を利用して列収束の一意...

代数学の基本定理の証明は、複素数を使った解析的な考え方が必要になるため、初めて読むと非常に分かりにくい部分があります。特に「最小値を取る複素数aを選ぶ理由」や「f(a+h)の評価から実部と虚部を挟み撃ちする」という部分は、多くの人がつまずく...