2個のサイコロを同時に振り、出た目の小さい方をX、大きい方をYとする問題は、確率の基本でありながら場合分けが重要な問題です。XとYは単純にサイコロ1個の目とは異なり、2つの目の組み合わせによって決まります。この記事では、XとYの意味を整理しながら、X>a、X=a、X≦a、Y=aとなる確率の求め方を一般的な形で詳しく解説します。
小さい目Xと大きい目Yの考え方
2個のサイコロの出た目をm,nとします。このとき、小さい方の目をX、大きい方の目をYとすると、
X=min(m,n)、Y=max(m,n)
となります。
例えば、サイコロの目が2と5なら、X=2、Y=5です。また、両方が4ならX=4、Y=4になります。
この問題では、2つのサイコロの結果を順番付きで考える必要があります。2個のサイコロには6×6=36通りの組み合わせがあります。
① X>aとなる確率
X>aとは、「2個のサイコロの小さい方がaより大きい」という意味です。
つまり、2個ともaより大きい目が出る必要があります。
1個のサイコロでaより大きい目が出る確率は、
(6-a)/6
です。
2個とも条件を満たすので、
P(X>a)=((6-a)/6)²
となります。
例えばa=3の場合、4・5・6の3種類が条件を満たすため、
P(X>3)=(3/6)²=1/4
になります。
② X=aとなる確率
X=aとは、「2個のサイコロのうち小さい方がaになる」ということです。
この場合、少なくとも1個はaで、もう1個はa以上の目になります。ただし、両方ともaの場合も含まれます。
考え方としては、
「2個ともa以上」から「2個ともa+1以上」を引く
と求めやすくなります。
つまり、
P(X=a)=P(X≧a)-P(X>a)
となります。
X≧aとは、2個ともa以上の目が出ることなので、
P(X≧a)=((7-a)/6)²
です。
したがって、
P(X=a)=((7-a)/6)²-((6-a)/6)²
となります。
③ X≦aとなる確率
X≦aとは、「小さい方の目がa以下」という意味です。
これは反対の条件を使うと簡単に求められます。
X>aの確率が分かっているため、
P(X≦a)=1-P(X>a)
となります。
よって、
P(X≦a)=1-((6-a)/6)²
です。
例えばa=3なら、
P(X≦3)=1-(3/6)²=3/4
となります。
④ Y=aとなる確率
Y=aとは、「2個のサイコロの大きい方がaになる」という条件です。
これは、
「2個ともa以下」から「2個ともa-1以下」を引く
ことで求められます。
つまり、
P(Y=a)=P(Y≦a)-P(Y<a)
となります。
Y≦aとは、2個ともa以下の目が出ることなので、
P(Y≦a)=(a/6)²
です。
また、Y<aとは2個ともaより小さい目が出ることなので、
P(Y<a)=((a-1)/6)²
となります。
したがって、
P(Y=a)=(a/6)²-((a-1)/6)²
となります。
具体例としてa=3の場合を計算する
a=3の場合、それぞれの確率は次のようになります。
| 条件 | 確率 |
|---|---|
| X>3 | (3/6)²=1/4 |
| X=3 | (4/6)²-(3/6)²=7/36 |
| X≦3 | 1-1/4=3/4 |
| Y=3 | (3/6)²-(2/6)²=5/36 |
このように、Xは小さい方の目、Yは大きい方の目という特徴を利用して、2個のサイコロをまとめて考えることがポイントです。
まとめ
2個のサイコロの小さい目Xと大きい目Yに関する確率問題では、36通りを直接数える方法もありますが、条件の反対を利用すると簡単に求められます。
基本となる公式は、
X>a：2個ともaより大きい
X=a：X≧aからX>aを引く
X≦a：1-X>a
Y=a：Y≦aからY<aを引く
という考え方です。サイコロの最大値・最小値を扱う確率問題では、このような補集合や累積確率の考え方を使うことで、複雑な場合分けを避けて解くことができます。
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