白玉15個・黒玉n個の確率問題を解説！組み合わせを使ったPnの求め方と最大値の考え方

白玉15個、黒玉n個が入った袋から同時に3個の玉を取り出す確率問題は、組み合わせの基本と確率関数の最大値を求める典型問題です。この記事では、Pnをnで表す方法から、Pnが最大となるnの値まで順を追って解説します。

問題の状況を整理する

袋の中には白玉15個、黒玉n個があります。

この中から同時に3個取り出し、そのうち白玉2個、黒玉1個となる確率をPnとします。

確率は「条件を満たす取り出し方 ÷ 全体の取り出し方」で求めます。

（1）Pnをnを用いて表す

白玉2個を選ぶ方法は

C(15,2)=105

黒玉1個を選ぶ方法は

C(n,1)=n

したがって条件を満たす取り出し方は

105n

通りです。

一方、全体の取り出し方は

C(n+15,3)=((n+15)(n+14)(n+13))/6

となります。

よって

Pn=105n÷C(n+15,3)

すなわち

Pn=630n/((n+15)(n+14)(n+13))

Pnの最大値を考える

Pn=630n/((n+15)(n+14)(n+13))

とおきます。

nは黒玉の個数なので正の整数です。

まず実際にいくつか代入してみます。

値は増加していきますが、その後は減少に転じます。

隣り合う項の比で最大値を判定する方法

Pn+1＞Pnとなる条件を調べます。

Pn+1/Pn=((n+1)(n+13))/((n+16)n)

これが1以上となる条件は

(n+1)(n+13)≧n(n+16)

展開すると

n²+14n+13≧n²+16n

13≧2n

よって

n≦6.5

となります。

したがってPnはn=6までは増加し、n=7以降は減少します。

最大値とそのときのn

以上よりPnが最大となるのは

n=7

のときです。

そのとき

P7=630×7/(22×21×20)

=4410/9240

=21/44

となります。

まとめ

白玉2個、黒玉1個となる確率は

Pn=630n/((n+15)(n+14)(n+13))

です。

また、Pn+1とPnを比較すると、n=6までは増加し、n=7から減少するため、最大値はn=7のときにとります。

したがって答えは、Pn=630n/((n+15)(n+14)(n+13))、最大値は21/44、そのときn=7です。