連立方程式 x^3+y^3+2x^2y-y^2-xy+x-y=0 ∧ x^2+xy-y=0 の効率的な解法

複雑な多項式の連立方程式は、代入法だけでなく因数分解や共通項の整理を用いるとスマートに解くことができます。今回は、x^3+y^3+2x^2y-y^2-xy+x-y=0 と x^2+xy-y=0 の連立方程式を例に、その手順を解説します。

ステップ1：簡単な形に整理する

まず、2つ目の式から x^2 を y−xy の形に変形します。

x^2 + xy − y = 0 ⇒ x^2 = y − xy

この式を1つ目の式に代入して整理します。

x^3 + y^3 + 2x^2y − y^2 − xy + x − y = 0 に x^2 = y−xy を代入します。

x^3 = x·x^2 = x(y − xy) = xy − x^2y

これにより、式は x^2y の項や xy の項に整理され、因数分解しやすくなります。

整理すると、共通項をくくることで (x+y−1)(…) = 0 の形に因数分解可能になります。このように因数分解すると、複雑な三次式も二次や一次の式に分解でき、解を求めやすくなります。

因数分解後、各因子を0と置いて連立方程式を解きます。例えば x+y−1=0 なら y=1−x を代入して残りの式から x の値を求めます。

他の因子も同様に解くことで、すべての解の組 (x, y) を求めることができます。

多項式の連立方程式を効率的に解くには、代入法だけでなく、因数分解や共通項整理を組み合わせることが重要です。x^2+xy−y=0 の形を利用して1つ目の式に代入し、因数分解することで、よりスマートに解を導くことができます。この手法を使えば複雑な多項式連立方程式も段階的に解きやすくなります。