高校数学で三項式の積 (x+2y-z)(3x+4y+2z)(-x+y-3z) の展開を求める場合、すべて展開するのは手間がかかります。しかし、xyz の項だけを求めたい場合は工夫して計算できます。本記事では、効率的に係数を求める方法を紹介します。
ステップ1：xyz の項に注目する
三項式を展開するとき、xyz の項は各括弧からそれぞれ x, y, z の1つずつを選ぶ組み合わせでしか生じません。他の組み合わせでは xyz にはならないため、他の項は無視してOKです。
つまり、(x+2y−z)(3x+4y+2z)(−x+y−3z) の各括弧から xyz の組み合わせだけを考えます。
ステップ2：組み合わせをリストアップ
3つの括弧から1つずつ選ぶと、xyz になる組み合わせは以下です。
- 1つ目: x, 2つ目: y, 3つ目: z
- 1つ目: x, 2つ目: z, 3つ目: y
- 1つ目: y, 2つ目: x, 3つ目: z
- 1つ目: y, 2つ目: z, 3つ目: x
- 1つ目: z, 2つ目: x, 3つ目: y
- 1つ目: z, 2つ目: y, 3つ目: x
これで6通りの積の組み合わせが確認できます。
ステップ3：各組み合わせの係数を計算
各括弧の選んだ項の係数を掛け算します。
- x (係数1) × y (係数4) × z (係数−3) = 1×4×(−3)=−12
- x × z × y = 1×2×1 = 2
- y × x × z = 2×3×(−3)=−18
- y × z × x = 2×2×1=4
- z × x × y = (−1)×3×1=−3
- z × y × x = (−1)×4×1=−4
ステップ4：係数の合計
すべての組み合わせの係数を足します。
−12 + 2 − 18 + 4 − 3 − 4 = −31
したがって、xyz の項の係数は −31 です。
まとめ
三項式の積で特定の項の係数だけを求める場合は、余分な展開をせずに、必要な項だけの組み合わせを考えると効率的です。今回の例では、各括弧から x, y, z を1つずつ選ぶ組み合わせを列挙し、係数を掛け合わせて合計するだけで xyz の項の係数 −31 を求めることができました。
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