数学Aの「場合の数」では、同じものが複数ある並べ方や円形に並べる問題で、通常の順列とは異なる考え方が必要になります。特に、同じ色の玉が複数ある場合は単純に6個の玉として計算すると重複して数えてしまいます。
この記事では、赤・青・黄の3種類の玉がそれぞれ2個ずつある合計6個の玉を円形に並べる問題について、なぜ固定する方法が使えるのか、どのように計算すればよいのかを順番に解説します。
同じものを含む円順列の考え方を理解すると、数え上げに頼らず効率的に解くことができるようになります。
円形に並べる問題では基本的に1つを固定して考える
円形に並べる場合、通常の順列と違って回転しただけの配置は同じものとして扱います。そのため、円順列では1つのものを固定して考える方法がよく使われます。
例えば、6個すべてが異なる玉の場合、1つを固定すると残り5個を並べるだけなので、答えは5!通りになります。
今回の問題では「同じ色の玉が2個ずつある」ため、固定する方法が使えないように感じますが、実際には使うことができます。ただし、同じ色による重複を最後に調整する必要があります。
まず玉をすべて区別して円形に並べる
赤2個、青2個、黄2個の玉について、最初は同じ色の玉も別物として考えます。
例えば、赤の玉を赤1・赤2、青の玉を青1・青2、黄の玉を黄1・黄2と区別すると、6個すべて異なる玉になります。
この場合、円形に並べる方法は1個を固定して考えられるので、5!通りになります。
計算すると、5!=5×4×3×2×1=120通りです。
同じ色の玉による重複を考える
しかし、この120通りには同じ色の玉を入れ替えただけの配置が重複して含まれています。
例えば、赤1と赤2を交換しても、見た目としてはどちらも赤色なので同じ並びです。同様に青と黄についても、それぞれ2個ずつ交換できます。
したがって、赤の交換2通り、青の交換2通り、黄の交換2通りの合計で、2×2×2=8通りずつ同じ配置を数えていることになります。
重複を割って答えを求める
同じ配置を何度も数えているため、先ほど求めた120通りを8で割ります。
計算式は以下のようになります。
5!÷(2!×2!×2!)
これを計算すると、
120÷(2×2×2)=120÷8=15
となります。
したがって、赤青黄の玉がそれぞれ2個ずつある場合の円形の並べ方は15通りです。
なぜ数え上げではなく公式的に解けるのか
この問題は、同じものを含む順列と円順列を組み合わせた問題です。そのため、すべてを書き出して数える方法も可能ですが、玉の数が増えると現実的ではありません。
今回のように、同じ種類のものが複数ある場合は「一度すべて区別して数える→同じものの入れ替え分で割る」という考え方を使うと効率的に求められます。
例えば、赤3個、青3個、黄2個など玉の数が増えた場合でも、同じ考え方で計算できます。
同じものを含む円順列で覚えておきたいポイント
同じものを含む円順列では、次の流れを意識すると問題を解きやすくなります。
1. すべてのものを区別した状態で円順列を考える。
2. 円なので1つを固定して回転による重複をなくす。
3. 同じ種類のものを交換した分だけ割る。
今回の問題では、6個を区別した円順列が5!、同じ色の交換が2!ずつあるため、5!÷(2!×2!×2!)という形になります。
まとめ
赤青黄の玉が2個ずつ、合計6個ある円形配置の問題では、固定する方法は使用できます。同じ色の玉があるため、その後に重複を調整する必要があります。
解き方は、すべての玉を一度区別して5!通りを求め、赤・青・黄それぞれの入れ替えによる重複を2!×2!×2!で割ります。
答えは15通りとなります。この考え方は、数Aで頻出する「同じものを含む順列」や「円順列」の基本となるため、仕組みを理解しておくと他の問題にも応用できます。
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