無限級数Σ_{n=1}^∞sin(log n)/nは、項に振動する正弦関数と減少する1/nが含まれているため、単純な比較判定では判断しにくい級数です。この記事では、この級数が収束するのか発散するのかを、部分和の性質やディリクレの判定法を用いて詳しく解説します。
対象となる級数の形を確認する
考える級数は次のものです。
Σ_{n=1}^∞ sin(log n)/n
一般的な調和級数Σ1/nは発散しますが、今回はsin(log n)が掛かっています。この正弦関数による振動が、1/nの発散を打ち消すかどうかがポイントになります。
sin(log n)はnが増加すると振動しますが、その周期は通常のsin nのように一定ではありません。log nの増加速度が非常に遅いため、nについて見るとゆっくり振動する関数になります。
sin(log n)の振る舞いを調べる
まず、sin(log n)の周期について考えます。sin xの周期は2πですが、ここでx=log nなので、1周期進むにはlog nが2π増える必要があります。
つまり、nの値は次の周期ごとに約e^{2π}倍になります。
e^{2π}は約535倍なので、nが1から535、535から約286000というように、非常に大きな範囲で1回の振動をすることになります。
このため、sin(log n)は振動しているものの、その振動は非常にゆっくりであり、通常の交代級数のような簡単な打ち消しは期待できません。
積分による判定を考える
級数の性質を調べるため、対応する積分を考えます。
f(x)=sin(log x)/x
として、積分
∫_1^∞ sin(log x)/x dx
を調べます。
ここでt=log xと置換すると、x=e^t、dx=e^t dtとなるため、
dx/x=dt
となります。
したがって積分は、
∫_0^∞ sin t dt
になります。
しかし、この積分は通常の意味では収束しません。実際、
∫_0^A sin t dt=1-cos A
であり、A→∞としても一定値に近づかず振動し続けます。
級数と積分の違いを確認する
積分が発散するため、級数も発散する可能性が高いですが、離散的な級数ではさらに慎重な確認が必要です。
級数の項は、sin(log n)がゆっくり変化するため、同じ符号の項が非常に長い範囲続きます。そのため、正の部分と負の部分の打ち消しが十分に起こりません。
例えばsin(log n)>0となる範囲では、nは指数的に広い区間を占めます。その区間内では多くの項が同じ符号で足されることになります。
ブロックごとの和を見ると発散が分かる
n=e^tと考えると、log n=tなので、sin(log n)の符号はtの区間ごとに決まります。
例えば、
2kπ<log n<(2k+1)π
の範囲ではsin(log n)は正になります。
この範囲のnは、
e^{2kπ}<n<e^{(2k+1)π}
となり、非常に大きな幅を持ちます。この区間での和を考えると、積分で見た場合の正の半周期に対応する量が現れます。
同様に負の区間も存在しますが、部分和は一定値に収束せず、大きく振動する形になります。
ディリクレの判定法は適用できるのか
ディリクレの判定法では、Σa_n b_nについて、部分和Σa_nが有界で、b_nが単調減少して0に近づけば収束すると判断できます。
しかし今回の場合、sin(log n)の部分和は有界ではありません。ゆっくりした振動によって累積が大きくなるため、ディリクレの判定法を適用することはできません。
これはsin n/nのような級数が収束する場合との大きな違いです。sin nは高速に振動するため打ち消し合いますが、sin(log n)は振動が遅すぎるため十分な相殺が起こりません。
まとめ｜Σsin(log n)/nは発散する
級数Σ_{n=1}^∞sin(log n)/nは、収束するように見える振動項を含んでいますが、実際には発散します。
理由は、sin(log n)の振動周期が非常に長く、同じ符号の項が指数的に広い範囲で続くため、1/nによる減衰では十分に打ち消せないからです。
sin n/nのような高速振動する級数とは異なり、log nを引数に持つ正弦関数は振動が遅いため、ディリクレの判定法による収束条件も満たしません。この例は、振動の速さが無限級数の収束判定に重要であることを示す代表的な例です。
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