三平方の定理に関係する問題では、条件から特定の整数の組を見つける必要があります。特に「a²=b²+c²」と「a+c=25」のような条件がある場合、どのように考えればよいのか迷う人も多いでしょう。
この記事では、ピタゴラス数の考え方を使って、条件を満たす自然数a、b、cを求める方法をわかりやすく解説します。計算だけでなく、なぜその答えになるのかという流れも確認していきます。
a²=b²+c²が表している意味
式a²=b²+c²は、直角三角形の辺の長さの関係を表す「三平方の定理」と同じ形です。
つまり、aが斜辺、bとcが直角をはさむ2辺の長さになります。
このように自然数だけで三平方の定理を満たす組み合わせは「ピタゴラス数」と呼ばれています。
代表的なものには、
3²+4²=5²
や
5²+12²=13²
があります。
a+c=25という条件から考える
問題では、a+c=25と決まっています。
また、aはa²=b²+c²の中で最も大きい数になります。なぜなら、平方するとb²とc²を足した値になるため、a²はc²より必ず大きくなるからです。
したがって、aはcより大きい自然数になります。
さらに、a+c=25なので、aは13以上の値になる可能性が高いと考えられます。
ピタゴラス数を利用して探す方法
自然数の三平方の組を調べると、
5、12、13
という組み合わせがあります。
この場合、
13²=5²+12²
を確認すると、
169=25+144
となり、条件を満たします。
さらに、a+cの条件を確認します。
a=13、c=12とすると、
a+c=13+12=25
となります。
したがって、この組み合わせは問題の条件を満たします。
なぜa=13より小さい値では成立しないのか
aが11以下の場合を考えてみます。
三平方の定理を満たす代表的な組には、3、4、5や6、8、10のようなものがありますが、自然数で条件a+c=25を満たすにはaとcの合計が大きすぎます。
例えばa=5の場合、cはaより小さいため、a+cは最大でも9程度になります。
また、a=11の場合も、11より小さいcとの組み合わせでは25には届きません。
そのため、条件を満たす最小のaは13になります。
別の解き方：三平方の定理の公式を利用する
ピタゴラス数は公式から作ることもできます。
互いに異なる自然数m、nを使うと、
a=m²+n²
b=m²-n²
c=2mn
という形で三平方の組を作れます。
今回、a+c=25なので、
(m²+n²)+2mn=25
となります。
これは、
(m+n)²=25
と変形できます。
したがって、
m+n=5
となります。
自然数の組としてm=3、n=2を選ぶと、
a=3²+2²=13
c=2×3×2=12
b=3²-2²=5
となり、(a,b,c)=(13,5,12)が得られます。
まとめ：条件付きの三平方の問題は組み合わせを見抜くことが重要
a²=b²+c²の形を見たら、三平方の定理やピタゴラス数を利用できないか考えることがポイントです。
今回の問題では、a+c=25という条件から、a=13、c=12の組み合わせが見つかり、b=5となります。
したがって、選択肢の中で条件を満たす最小の値は13です。
このような問題では、すべての数字を試すよりも、三平方の定理の整数の組を知っておくことで、短時間で解答できるようになります。
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