一次関数では、2つの点を通る直線の傾きを求める問題がよく出題されます。しかし、座標に分数が含まれていると「どう計算すればいいのか分からない」と感じることがあります。
実は、傾きを求める方法は整数の場合とまったく同じで、yの増加量をxの増加量で割るだけです。この記事では、分数の座標が出てきた場合でも迷わず計算できるように、具体例を使って解説します。
一次関数の傾きとは何か
一次関数は一般的に、
y=ax+b
という形で表されます。このとき、aが「傾き」を表します。
傾きとは、xが1増えたときにyがどれだけ変化するかを表した数字です。
例えば傾きが2なら、xが1増えるとyは2増えます。反対に傾きが-3なら、xが1増えるとyは3減ります。
2つの点から傾きを求める公式
直線が2つの点を通る場合、傾きは次の公式で求められます。
傾き＝yの増加量÷xの増加量
つまり、
a=(y₂-y₁)÷(x₂-x₁)
という式になります。
ポイントは、必ず「yの変化」を「xの変化」で割ることです。
分数が含まれていても、この公式にそのまま代入すれば大丈夫です。
実際に分数を含む座標で傾きを求める
例えば、
(-1, 3/2)、(-4, 0)
という2つの点を通る直線の傾きを考えます。
まず、yの増加量を求めます。
3/2-0=3/2
次に、xの増加量を求めます。
-1-(-4)=3
したがって、傾きは、
(3/2)÷3
となります。
分数の割り算は、割る数を逆数にして掛けます。
(3/2)×(1/3)=1/2
よって、この直線の傾きは、
1/2
になります。
分数の割り算で迷わないための考え方
分数が出てくると難しく感じますが、やっていることは整数の場合と同じです。
例えば、
3/2÷3
は、「3/2を3個分に分ける」と考えることもできます。
計算では、
3/2÷3=3/2×1/3=1/2
となります。
つまり、分数があるから特別な方法を使う必要はなく、普通の傾きの公式を使えば解けます。
符号や順番を間違えないコツ
傾きを求める問題でよくあるミスは、xやyの引き算の順番がバラバラになることです。
例えば、
(x₂-x₁)と(y₂-y₁)
のように、必ず同じ順番で計算します。
今回の場合なら、
yの差を「3/2-0」とするなら、xの差も「-1-(-4)」にします。
逆に、yを「0-3/2」とするなら、xも「-4-(-1)」にします。
どちらでも結果は同じになります。
傾きを求める問題の解き方まとめ
一次関数の傾きは、座標に分数があっても基本的な考え方は変わりません。
解く手順は次の3ステップです。
- 2つの点のyの差を求める
- 2つの点のxの差を求める
- yの増加量÷xの増加量を計算する
分数が出てきたときは、「特別な問題」と考えるのではなく、分数の計算が追加されただけだと考えると理解しやすくなります。
今回の例では、(-1,3/2)と(-4,0)を通る直線の傾きは1/2です。公式を正しく使えば、分数が含まれる問題でも落ち着いて解くことができます。
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