大学入試数学の積分でarctanを使ってもいい？tan置換との関係と記述答案の書き方を解説

大学入試の数学では、積分計算の途中でどの公式や変形を使えばよいのか迷うことがあります。特に∫[0→1]dx/(x²+1)のような積分では、tan置換を行う方法と、すでに知っている原始関数arctan xを使う方法のどちらが正しいのか疑問に感じる人も多いです。

この記事では、1/(x²+1)の積分でarctanを使うことができる条件、tan置換との関係、大学入試の記述答案で注意すべきポイントについて詳しく解説します。

∫[0→1]dx/(x²+1)はarctanを使って解いてよいのか

結論から言うと、数学的に正しい根拠を示せるのであれば、∫[0→1]dx/(x²+1)はarctan xを使って計算して問題ありません。

なぜなら、arctan xは1/(x²+1)の原始関数だからです。つまり、微分すると次の関係が成り立ちます。

(arctan x)’=1/(x²+1)

したがって、積分区間を考えると、

∫[0→1]dx/(x²+1)=［arctan x］₀¹=arctan1−arctan0=π/4

となります。

tan置換による解法は、この原始関数を導くための基本的な考え方です。例えば、x=tanθと置くと、

dx=(1+tan²θ)dθ=(1+x²)dθ

となるため、積分は次のように変形できます。

∫dx/(1+x²)=∫dθ

つまり、tan置換を行うことで、結果としてθ=arctan xという関係が現れます。

そのため、arctan xを直接使う方法は、tan置換によって得られる結果を公式として利用していると考えることができます。

大学入試の記述問題では、単に「積分公式より」と書くだけでは不十分になる場合があります。特に、その公式が問題文で与えられていない場合は、なぜ使えるのかを示すことが大切です。

例えば、以下のように書くと根拠が明確になります。

「(arctan x)’=1/(x²+1)であるから、1/(x²+1)の原始関数はarctan xである。」

このように微分による確認を一言入れることで、公式を暗記で使っているのではなく、理解して利用していることが伝わります。

問題によっては、tan置換を使うことが期待されている場合もあります。例えば、「次の積分を計算せよ。ただし置換積分を用いること」などの指示がある場合は、指定された方法に従う必要があります。

また、大学入試の初見問題では、arctanの公式を知らなくても解けるようにtan置換を誘導していることがあります。

具体的には、三角関数を使った面積計算や、置換積分の考え方を確認する問題では、tan置換による途中式を書くことに意味があります。

arctanは便利な関数ですが、すべての受験生が同じように扱えるとは限りません。大学や試験によっては、arctanという表記を使わず、tan⁻¹xや逆三角関数として表現する場合もあります。

また、答案では最終的な値まで求める必要がある場合があります。例えば、

arctan1=π/4、arctan0=0

という関係を利用して、答えをπ/4まで整理することが重要です。

高校数学では、以下のような形の積分は頻出です。

関数	原始関数
1/(1+x²)	arctan x
1/√(1-x²)	arcsin x

これらは逆三角関数の微分公式と関係しています。単なる暗記ではなく、微分して確認できるようにしておくと応用問題にも対応しやすくなります。

特に大学入試では、公式を知っていることよりも、その公式を正しく使う理由を説明できることが重要です。

∫[0→1]dx/(x²+1)のような積分は、arctan xを使って解いても数学的には問題ありません。

ただし、大学入試の記述答案では、arctan xが原始関数になる理由を示しておくと、より安全な答案になります。

tan置換はarctanの公式を導く方法であり、両者は別々の解法ではなく深く関連しています。問題の指示や採点基準に合わせて、最も適切な書き方を選ぶことが大切です。