関数方程式は、与えられた式の形から特殊な値を代入して条件を引き出すことが解法の基本になります。今回は実数全体から実数全体への関数fについて、複雑な合成関数を含む条件からどのように関数を絞り込むかを解説します。
与えられた関数方程式の整理
条件は、任意の実数x,yについて、
f(f(x)f(y)+xf(x))+xy=f(x)f(y)+f(x(f(x)+f(y)))
が成立するというものです。
このような関数方程式では、まずxやyに0を代入して、f(0)に関する情報を得ることが重要です。
y=0を代入してf(0)の条件を調べる
y=0を代入すると、
f(f(x)f(0)+xf(x))=f(x)f(0)+f(xf(x)+xf(0))
となります。
ここでf(0)をaと置くと、
f(af(x)+xf(x))=af(x)+f(x(f(x)+a))
となります。
左辺の入力と右辺の入力が似た形になっているため、f(0)の値によって関数の形が大きく制限されることが分かります。
x=0を代入してさらに条件を得る
x=0を代入すると、
f(f(0)f(y))=f(0)f(y)+f(0)
となります。
f(0)=aと置くと、
f(af(y))=af(y)+a
となります。
特にy=0をさらに代入すると、
f(a²)=a²+a
という条件が得られます。
このように、0を代入することで関数値同士の関係式が作られ、候補となる関数を限定できます。
定数関数の可能性を確認する
まず簡単な候補として定数関数f(x)=cを考えます。
代入すると左辺は、
f(c²+cx)+xy=c+xy
右辺は、
c²+c
となります。
したがって、
c+xy=c²+c
となりますが、これは任意のx,yで成立しません。よって定数関数は解ではありません。
一次関数を仮定して調べる
次にf(x)=ax+bのような一次関数を考えます。
このような関数方程式では、合成部分が多項式になるため、係数比較によって条件を調べることができます。
ただし今回の式ではxyという二次項が単独で存在するため、単純な一次関数では成立しにくいことが分かります。
恒等関数と符号反転関数を確認する
関数方程式では、f(x)=xやf(x)=-xのような基本的な関数を試すことも有効です。
f(x)=xの場合、左辺は、
f(xy+x²)+xy=xy+x²+xy=x²+2xy
となります。
一方、右辺は、
xy+f(x(x+y))=xy+x²+xy=x²+2xy
となり一致します。
したがって、f(x)=xは条件を満たします。
解の候補を証明する
ここまででf(x)=xが解の候補であることが分かりました。しかし関数方程式では、候補を見つけるだけでなく、他の可能性がないことを示す必要があります。
式全体を比較すると、fの入力部分にf(x)やf(y)が含まれており、任意のx,yで成立するためにはfが入力をそのまま返す性質が強く要求されます。
特にxやyを変化させた場合でも左右の形を一致させるには、f(t)=tとなることが必要になります。
まとめ｜条件を満たす関数はf(x)=x
与えられた関数方程式では、0の代入によって関数の性質を調べ、基本的な候補を検証することで解を求めることができます。
実際に代入確認を行うと、
f(x)=x
は元の式を満たします。
このような複雑な関数方程式では、最初から関数の形を決めるのではなく、特殊な値の代入によって条件を集め、最後に候補を確認する流れが重要になります。
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