高校数学：二項分布を使った確率変動と期待値・分散の計算方法

このページでは、高校数学の「確率変動」「期待値」「分散」に関する問題、特に二項分布を使った計算方法について詳しく解説します。具体的には、袋の中に入っているカードの確率を利用して、二項分布を使った計算方法を学びます。

問題の設定

袋の中にカードが6枚入っています。そのうち、2枚に「2」、残りの4枚に「-1」が書かれています。操作Pを90回行うとき、2のカードを取り出す回数を確率変動Yとして考えます。このとき、Yは二項分布B(90, 1/3)に従うことがわかっています。

期待値E(Y)は、二項分布における「成功の確率 × 試行回数」で求めることができます。ここでは、「2のカードを取り出す確率」は1/3、試行回数は90回です。

したがって、E(Y) = 90 × 1/3 = 30となります。

分散V(Y)は、二項分布の場合、「試行回数 × 確率 × (1 – 確率)」で求めます。ここでは、試行回数は90回、確率は1/3です。

したがって、V(Y) = 90 × 1/3 × 2/3 = 60となります。

次に、取り出したカードに書かれた数の和Wを考えます。このWは、Yを使って次のように表すことができます。

W = (1)Y – (1)×(90 – Y)

Wの期待値E(W)は、E(W) = E(Y)×1 – (90 – E(Y)) = 30×1 – (90 – 30) = 30となります。

Wの分散V(W)は、V(W) = V(Y)×1^2 = 60×1 = 60となります。

この問題では、二項分布を使って期待値と分散を計算する方法を学びました。確率変動Yの期待値E(Y)と分散V(Y)を求め、その後、和Wの期待値と分散を計算しました。こうした問題を解くためには、二項分布の特性を理解し、適切な公式を使用することが重要です。