漸化式の解き方を徹底解説｜2項間漸化式から特性方程式を使った一般項の求め方

漸化式は、前の項と次の項の関係から数列の一般項を求める問題です。特に「aₙ₊₂がaₙ₊₁とaₙで表される2階の漸化式」は、特性方程式を利用することで解くことができます。この記事では、具体的な計算手順を使いながら、2つの漸化式の一般項の求め方を解説します。

2階の漸化式を解く基本的な考え方

今回のような漸化式は、一般的に「2項間漸化式」と呼ばれ、次のような形をしています。

aₙ₊₂＝paₙ₊₁＋qaₙ＋r

定数項がない場合は特性方程式を利用します。また、定数項がある場合は、まず定数部分を消すために新しい数列を作ることがポイントです。

基本的な流れは、①定数項を処理する、②特性方程式を解く、③一般項を決定する、という手順になります。

まず、漸化式には定数項「＋4」が含まれているため、そのままでは特性方程式を使えません。そこで、定数解を探します。

数列が一定値aₙ＝cになると考えると、c＝3c−4c＋4となります。

整理すると、c＝−c＋4なので、2c＝4となり、c＝2を得ます。

そこで、bₙ＝aₙ−2とおきます。するとaₙ＝bₙ＋2なので、元の漸化式に代入します。

bₙ₊₂＋2＝3(bₙ₊₁＋2)−4(bₙ＋2)＋4

右辺を整理すると、bₙ₊₂＋2＝3bₙ₊₁−4bₙ＋2となります。

したがって、bₙ₊₂＝3bₙ₊₁−4bₙとなり、定数項を消すことができました。

bₙ₊₂＝3bₙ₊₁−4bₙに対して、特性方程式を作ります。

x²＝3x−4

整理すると、x²−3x＋4＝0となります。

この方程式の解はx＝(3±√(−7))/2となり、複素数になります。

したがって、実数表示では三角関数を用いた形になります。判別式が負になるため、単純な指数関数だけでは表せません。

一方で、初項条件から計算すると、b₁＝a₁−2＝−1、b₂＝a₂−2＝0です。

よって①の一般項は、複素数解または三角関数を用いた表現になります。高校数学の範囲では、このような場合は特性方程式の解の性質を理解することが重要です。

②は定数項がないため、そのまま特性方程式を利用できます。

aₙ₊₂＝2aₙ₊₁−4aₙなので、特性方程式は次のようになります。

x²＝2x−4

整理すると、x²−2x＋4＝0です。

解の公式を使うと、x＝1±√3iとなります。

この場合も複素数解になるため、一般項は三角関数を利用した形になります。

複素数解α±βiを持つ場合、数列は次のような形になります。

aₙ＝rⁿ(Acos(nθ)＋Bsin(nθ))

②では解が1±√3iなので、絶対値は2、偏角はπ/3です。

したがって一般項は、

aₙ＝2ⁿ⁻¹(Acos((n−1)π/3)＋Bsin((n−1)π/3))

の形になります。

初期条件a₁＝1、a₂＝2を代入してA、Bを決定すると、具体的な数列の式を求めることができます。

2階の漸化式では、まず「定数項があるかどうか」を確認することが重要です。

定数項がある場合は、定数解を探して数列をずらすことで、特性方程式を使える形に変形できます。

また、特性方程式の解が実数か複素数かによって、一般項の形が変わります。実数解なら指数関数型、複素数解なら三角関数型になることを覚えておくと便利です。

今回のようなaₙ₊₂を含む漸化式では、特性方程式を利用することで一般項を求めることができます。

①のように定数項がある場合は、まず定数解を見つけて数列をずらします。②のように定数項がない場合は、そのまま特性方程式を立てます。

漸化式を解くときは、式を見た瞬間に特性方程式を作るのではなく、「どの形に変形すれば解きやすいか」を考えることが解法のポイントです。