「8で割って3余る正の整数は3つ以下の平方数で表される」定理の証明をわかりやすく解説

数論には、整数の性質を平方数の和で表す美しい定理が数多く存在します。その中でも「8で割ると3余る正の整数は、三つ以下の平方数の和で表される」という性質は、平方数と合同式の関係を利用して証明されます。この記事では、この定理がなぜ成り立つのか、どのような考え方で証明するのかを順番に解説します。

定理の意味を確認する

まず、「8で割って3余る正の整数」とは、整数nが8k+3という形で表される数のことです。例えば、3、11、19、27、35などが該当します。

このような整数について、「三つ以下の平方数で表される」というのは、ある整数a、b、cを使ってn=a²+b²+c²と表せるという意味です。

例えば11の場合、11=3²+1²+1²と書けます。このように、条件を満たす整数は3個以内の平方数の和として表現できます。

証明の基本となるのは、平方数を8で割ったときの余りを調べることです。整数mを8で分類すると、mは0から7までのいずれかの余りを持ちます。

それぞれを平方すると、平方数の8で割った余りは必ず0、1、4のいずれかになります。

実際に確認すると、0²=0、1²=1、2²=4、3²=9≡1、4²=16≡0、5²=25≡1、6²=36≡4、7²=49≡1となります。

次に、8で割ると3余る数について考えます。平方数の余りは0、1、4しかありません。

3つの平方数の和を考えると、例えば1+1+1=3となります。そのため、8で3余る数は、少なくとも余りの条件としては3つの平方数の和で表現できる可能性があります。

しかし、この余りの確認だけではすべての数について証明したことにはなりません。ここで重要になるのが、より大きな数論の結果である「ルジャンドルの三平方定理」です。

「すべての正整数は3つ以下の平方数の和で表されるか」という問題については、ルジャンドルの三平方定理によって完全に解決されています。

ルジャンドルの三平方定理では、正整数nが3つの平方数の和で表せない条件が示されています。その条件は、nが4^a(8b+7)という形になる場合です。

つまり、nが8で割って3余る数の場合は、8b+7の形ではありません。そのため、三平方数で表せない例外条件には当てはまらず、必ず3つ以下の平方数の和として表せます。

この定理の証明を理解するには、次の流れで考えると分かりやすくなります。

まず、平方数の8で割った余りが0、1、4しかないことを確認します。次に、三平方数で表せない整数についての一般的な条件を調べます。

ルジャンドルの三平方定理より、表せない整数は4^a(8b+7)型だけです。8で割って3余る整数はこの形ではないため、必ず三平方数の和で表現できます。

8で割って3余る整数をいくつか実際に表してみると、この性質を確認できます。

3は3=1²+1²+1²、11は11=3²+1²+1²、19は19=4²+1²+1²、27は27=5²+1²+1²のように表せます。

このように小さい数では簡単に見つけることができますが、大きな数になると直接表現を探すことは難しくなります。そのため、数学ではこのような一般的な定理を利用して証明します。

「8で割って3余る正の整数は、三つ以下の平方数で表される」という性質は、単なる計算ではなく整数論の重要な定理を利用して証明されます。

ポイントは、平方数の余りを調べることと、ルジャンドルの三平方定理によって平方数の和で表せない整数の条件を利用することです。

この定理は、整数の分類と平方数の性質が結びついた数論の代表的な例であり、合同式を使った証明の考え方を学ぶ上でも重要なテーマです。