絶対値を含む不等式は、絶対値記号を外すときの考え方を間違えやすい分野です。特に「±を付ければよい」と考えてしまうと、条件の範囲を正しく表せなくなることがあります。
この記事では、|x-2|≦1という絶対値不等式を例に、正しい解き方と、x-2≦±1として解いた場合にどこが間違いなのかを詳しく解説します。
絶対値の意味を理解すると、似た問題でも迷わず解けるようになります。
絶対値|x-2|≦1が表している意味
まず、絶対値とは「ある数が0からどれだけ離れているか」を表すものです。
例えば、|3|は0から3離れているので3、|-3|も0から3離れているので3になります。つまり、絶対値は必ず0以上の値になります。
|x-2|の場合は、「x-2という数が0からどれくらい離れているか」を表しています。これが1以下という条件なので、x-2は0から1以内の範囲にあるという意味になります。
絶対値の不等式は2つの不等式に分けて考える
|x-2|≦1のような形では、絶対値を外すときに次のように考えます。
-1≦x-2≦1
これは、「x-2が-1以上かつ1以下」という意味です。絶対値が1以下ということは、0を中心として左右1ずつの範囲に入っているということになります。
ここから両辺に2を足すと、
1≦x≦3
となり、答えが求められます。
x-2≦±1としてしまう間違いの原因
よくある間違いは、絶対値を外す際に「±を付ければよい」と考えてしまうことです。
例えば、x-2≦±1とすると、
x-2≦1
x-2≦-1
の2つを考えることになります。
しかし、これでは本来必要な条件の一部しか表せていません。
絶対値がある不等式では、単純に右辺へ±を付けるのではなく、絶対値の大小関係によって変形方法が決まります。
「≦」と「≧」で絶対値の外し方が変わる
絶対値の不等式は、記号によって処理方法が異なります。
| 式 | 変形 |
|---|---|
| |A|≦B | -B≦A≦B |
| |A|＜B | -B＜A＜B |
| |A|≧B | A≦-B または A≧B |
| |A|＞B | A＜-B または A＞B |
今回の問題は|x-2|≦1なので、「≦」の形です。そのため、-1≦x-2≦1という範囲で考える必要があります。
一方で、もし|x-2|≧1だった場合は、x-2≦-1またはx-2≧1のように2つの範囲に分かれます。
数直線で考えると理解しやすい
|x-2|≦1は、「xが2から1以内の距離にある」という意味です。
数直線で見ると、中心が2で、そこから左右に1ずつ広がった範囲になります。
つまり、2-1から2+1までなので、
1≦x≦3
となります。
反対に、xが2から1以上離れている場合は、x≦1またはx≧3というように、範囲が2つに分かれます。
絶対値不等式で間違えないためのポイント
絶対値を見たら、すぐに±を付けるのではなく、「その絶対値が何を表しているか」を考えることが大切です。
|x-2|≦1なら、「x-2の距離が1以内」という意味なので、-1から1までの範囲になります。
また、答えが出た後に数値を代入して確認する習慣をつけると、間違いを発見しやすくなります。
例えばx=2なら、|2-2|=0で条件を満たします。一方、x=0なら|0-2|=2となり、1以下ではないため答えの範囲には入りません。
まとめ
|x-2|≦1の正しい解き方は、絶対値を距離として考え、
-1≦x-2≦1
として解くことです。その結果、
1≦x≦3
となります。
x-2≦±1という解き方が間違いなのは、絶対値が表す「両側の範囲」を正しく表現できていないためです。
絶対値の不等式は、±を機械的に付けるのではなく、「中心からどれくらい離れているか」という意味を理解すると、さまざまな問題に応用できるようになります。
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