三角関数の最大値・最小値を求める問題では、tanθの範囲をどのように考えるかが重要になります。特にsinθやcosθは必ず-1から1の範囲に収まりますが、tanθは同じようには扱えません。
この記事では、y=2tan²θ+4tanθ-1（0°≦θ≦180°）のような式で、なぜ最大値が存在しないのか、tanθの範囲の考え方とともに詳しく解説します。
sinθやcosθとtanθの範囲は同じではない
三角関数の問題でよくある間違いは、sinθやcosθの性質をそのままtanθにも当てはめてしまうことです。
sinθとcosθは単位円上の座標として考えられるため、どちらも必ず-1≦sinθ≦1、-1≦cosθ≦1の範囲になります。
しかし、tanθはtanθ=sinθ/cosθで表されるため、cosθが0に近づくと値が非常に大きくなります。そのため、tanθには上限や下限がありません。
0°から180°までのtanθの範囲を確認する
問題ではθの範囲が0°≦θ≦180°と指定されています。この範囲ならtanθも-1から1になるのではないか、と考えてしまう人がいます。
しかし、tanθ=-1やtanθ=1になる角度だけを見るのではなく、その間にあるすべての角度でtanθがどのように変化するかを見る必要があります。
例えばθ=90°ではcos90°=0となるためtan90°は定義されません。そして90°に近づくと、
θ→90°−の場合：tanθ→+∞
θ→90°＋の場合：tanθ→−∞
となります。
つまり、0°≦θ≦180°の範囲では、tanθは−∞から+∞までのすべての値を取り得ることになります。
y=2tan²θ+4tanθ-1をtanθの二次関数として考える
式を見やすくするために、t=tanθと置きます。
すると式は、
y=2t²+4t-1
という二次関数になります。
この関数は2>0なので、グラフは下向きではなく上に開く放物線です。そのため、頂点では最小値を取り、最大値を考えるにはtの範囲が重要になります。
もしtが-1≦t≦1の範囲なら、区間内で最大値を求めることができます。しかし実際にはtanθは-∞から+∞まで動くため、上限がありません。
なぜ最大値が存在しないのか
t=tanθとして考えると、
y=2t²+4t-1
となります。
tを非常に大きくすると、例えばt=100なら、
y=2×100²+4×100-1=20399
となります。
さらにtを大きくすれば、yの値もどんどん大きくなります。
つまり、θの範囲が0°から180°であっても、tanθが無限に大きくなることができるため、yにも上限がありません。
そのため、この関数には最大値が存在しないという結論になります。
最小値は存在するのか
最大値はありませんが、最小値は求めることができます。
y=2t²+4t-1を平方完成すると、
y=2(t+1)²-3
となります。
(t+1)²は0以上なので、最も小さい値になるのはt=-1のときです。
tanθ=-1となるθは0°≦θ≦180°ではθ=135°なので、そのとき、
y=-3
となります。
したがって、この関数は最小値-3を持つが、最大値は持たないということになります。
三角関数の最大値問題で注意すべきポイント
三角関数の範囲問題では、まず変数が何で表されているかを確認することが大切です。
sinθやcosθなら-1から1の範囲ですが、tanθの場合は角度の範囲だけでは値の範囲が限定されない場合があります。
特に90°のようにtanが定義されない角度をまたぐ場合は、tanθが急激に変化するため注意が必要です。
今回のような問題では、最初に「θの範囲」ではなく「その範囲でtanθがどこまで動くのか」を確認することが解答のポイントになります。
まとめ
y=2tan²θ+4tanθ-1で最大値が存在しない理由は、tanθをsinθやcosθと同じように-1から1の範囲で考えてしまうと間違えるためです。
0°≦θ≦180°では、θ=90°付近でtanθが±∞に発散するため、tanθには上限がありません。その結果、yの値も無限に大きくなり、最大値は存在しません。
三角関数の最大値・最小値問題では、まず変数の取り得る範囲を正しく確認することが重要です。
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