一次不定方程式の整数解を求める問題では、解答と自分の答えの形が違っていて戸惑うことがあります。しかし、整数解を表す式は必ず1通りになるとは限らず、見た目が違っていても同じ解の集合を表している場合があります。この記事では、4x-9y=5の整数解を例に、答えの形が違っても正しい理由や確認方法を分かりやすく解説します。
一次不定方程式とは何か
一次不定方程式とは、複数の文字を含む一次方程式で、整数の解を求める問題です。「不定」という名前の通り、条件を満たす整数の組が1つではなく無数に存在します。
例えば、4x-9y=5では、xとyという2つの未知数に対して1つの式しかありません。そのため、条件を満たす整数の組はたくさんあります。
このような問題では、すべての整数解を漏れなく表すために、整数kを使った一般解の形で答えます。
4x-9y=5の整数解を求める方法
まず、4x-9y=5を変形して考えます。4と9は互いに素なので、整数解が存在します。
例えば、解の1つを見つけると、x=2、y=-1の場合、4×2-9×(-1)=8+9=17となり条件を満たしません。試行錯誤やユークリッドの互除法などを利用して、1つの特別解を求めます。
この問題では、解答例としてx=9k-1、y=4k-1という形が示されています。実際に代入すると、4(9k-1)-9(4k-1)=36k-4-36k+9=5となり、確かにすべてのkで条件を満たします。
x=9k+8、y=4k+3も正しいのか
自分で求めたx=9k+8、y=4k+3についても確認してみます。
4(9k+8)-9(4k+3)=36k+32-36k-27=5となるため、この式も確かに4x-9y=5を満たしています。
つまり、x=9k+8、y=4k+3も整数解を表す式として正しいです。ただし、解答の形と同じ解の集まりを表しているかを確認する必要があります。
2つの答えが同じ整数解を表す理由
解答のx=9k-1、y=4k-1と、自分のx=9k+8、y=4k+3を比べてみます。
xについて見ると、9k+8は9(k+1)-1と書き換えることができます。また、yについても4k+3は4(k+1)-1と表せます。
つまり、自分の式で使っている整数kをk+1に置き換えると、解答の形になります。整数kは自由に選べるため、文字の置き方が違うだけで同じ解の集合を表しています。
整数解の答えで注意するポイント
一次不定方程式の答えでは、見た目が解答と違うからといってすぐに間違いとは限りません。重要なのは、その式を代入したときに元の方程式を満たすか、そしてすべての整数解を表しているかです。
例えば、x=9k-1という形なら、k=0のときx=-1になります。k=1ならx=8になります。一方、x=9k+8では、k=0のときx=8になりますが、k=-1にするとx=-1になります。
このように、整数kの範囲がすべての整数である場合、始める場所が違うだけで同じ数列を表すことがあります。
一般解の形を確認する方法
自分の答えが正しいか確認するには、次の2点を見ると分かりやすくなります。
1つ目は、元の式に代入して成り立つか。4x-9y=5に戻して計算し、すべてのkで成立するか確認します。
2つ目は、解答との違いが整数kのずれで説明できるか。今回のようにkを1つずらすだけで同じ形になる場合は、同じ整数解を表しています。
まとめ
4x-9y=5の整数解では、x=9k+8、y=4k+3とx=9k-1、y=4k-1はどちらも正しい答えです。
一次不定方程式では、整数kの取り方によって一般解の見た目が変わることがあります。大切なのは、式の形ではなく、その式がすべての整数解を漏れなく表しているかどうかです。
解答と自分の答えが違って見えた場合でも、kの置き換えで一致するかを確認することで、本当に同じ解を表しているか判断できます。
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