Σ（シグマ）を使った数列や和の計算では、途中で添字を置き換える式変形がよく登場します。しかし、添字を変えた後に元へ戻してよいのか、範囲はそのままでよいのかが分かりにくく感じる人も多くいます。
この記事では、Σの式変形で「l−1＝k」と置く意味や、なぜ新しい文字を元の文字に戻してよいのか、添字の範囲との関係を具体例を使って解説します。
Σの式変形で行われていること
Σの式変形では、計算しやすくするために和を表す番号（添字）を変更することがあります。
例えば、次のような形を考えます。
Σ(l=2からn) a(l−1)
この式では、lが2以上の範囲で動くため、l−1という部分は1以上の値になります。このような場合、添字を別の文字に置き換えることで、より基本的な形にできます。
l−1＝kと置く意味
「l−1＝k」と置くということは、和を数える番号を変更するという意味です。
例えば、lの値が変化するとき、kは次のように対応します。
| l | k=l−1 |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| … | … |
つまり、lで数えていたものをkという新しい番号で数え直しているだけです。項そのものの並びは変化していません。
なぜkをlに戻してもよいのか
「kをlに戻してもよいのか」という疑問が出やすい部分ですが、Σの添字は単なる名前なので、同じ役割をしているなら別の文字に変更できます。
例えば、
Σ(k=1からn−1) a(k)
という式があった場合、kは単に和を数えるための記号です。そのため、
Σ(l=1からn−1) a(l)
と書いても値は全く同じになります。
これは、数学における変数名は本質ではなく、その変数がどの範囲で動き、どの部分に入っているかが重要だからです。
ただし範囲を変える必要がある
添字を置き換えるときに最も注意すべき点は、添字の範囲も一緒に変えることです。
例えば、
l=2からn
という範囲でl−1＝kと置く場合、lが2からnまで動くとき、kは1からn−1まで動きます。
したがって、
Σ(l=2からn) a(l−1)
は、
Σ(k=1からn−1) a(k)
になります。
ここでkをlに戻す場合は、
Σ(l=1からn−1) a(l)
となります。
重要なのは、文字を戻すことではなく、範囲を正しく対応させることです。
添字変更でよくある間違い
よくある間違いは、添字だけを変更して範囲を変更し忘れることです。
例えば、
Σ(l=2からn) a(l−1)
をそのまま
Σ(k=2からn) a(k)
としてしまうと、最初の項がずれてしまいます。
元の式ではl=2のときa(1)から始まりますが、変更後ではa(2)から始まってしまうため、別の計算結果になります。
添字の変更では、「最初の項は何になるか」「最後の項は何になるか」を確認すると間違いを防げます。
まとめ
Σの式変形で「l−1＝k」と置くのは、和を数える番号を分かりやすく変更するためです。
kを後からlに戻してよい理由は、Σの添字は単なる名前であり、正しい範囲と対応関係が保たれていれば自由に変更できるからです。
ただし、添字を変更するときは必ず範囲も一緒に変える必要があります。文字の置き換えだけではなく、「どの値からどの値まで動いているか」を確認することが、Σの式変形を理解するポイントです。
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