Nの一次式の漸化式の解き方｜変形型と階差型の使い分け方をわかりやすく解説

Nの一次式を含む漸化式では、「式を変形して解く方法」と「階差を利用して解く方法」のどちらを使えばよいのか迷うことがあります。どちらの方法も正しい解法ですが、漸化式の形によって向き不向きがあります。

この記事では、Nの一次式の漸化式を解くときの考え方や、変形型と階差型をどのように使い分ければよいのかを具体例を交えながら解説します。

一次式の漸化式とはどのような形か

Nの一次式を含む漸化式とは、一般的に次のような形をしたものです。

a_{n+1}=pa_n+qn+r

このように、次の項が前の項とnの一次式によって表される漸化式では、そのままでは等比数列や等差数列の形になっていないため、工夫が必要になります。

例えば、a_{n+1}=2a_n+nのような式では、a_nだけを見ると等比型にも等差型にも見えません。そのため、別の形に変換して考えることになります。

一次式を含む漸化式では、まず特定の値を足したり引いたりして、等比数列の形に変形する方法があります。

例えば、a_{n+1}=2a_n+3のような漸化式では、定数を加えて新しい数列を作ることで、等比数列として扱えるようになります。

具体的には、a_{n+1}+c=2(a_n+c)となるようなcを探します。このように変形すると、b_n=a_n+cという新しい数列を考えることができ、b_nは等比数列になります。

この方法は、右辺にnが含まれない一次漸化式で特に有効です。

一方、階差型は隣り合う項の差を利用して解く方法です。

数列a_nに対して、b_n=a_{n+1}-a_nと置くことで、もとの数列を一段階簡単な数列に変換します。

例えば、a_{n+1}-a_n=nのような形なら、階差数列b_n=nとして扱うことができ、その後に和を取ることでa_nを求められます。

階差型は、漸化式を整理したときに「次の項と前の項の差」がきれいな式になる場合に非常に便利です。

Nの一次式が含まれる漸化式では、基本的にはまず変形できないかを考えるのがおすすめです。

特にa_{n+1}=pa_n+qのような形なら、変形によって等比数列に持ち込む方法が最も簡単です。

しかし、a_{n+1}-a_n=f(n)の形に整理できる場合は、階差型を使ったほうが計算が短く済むことがあります。

つまり、「どちらが正解」というよりも、式を見て最も簡単な形になる方法を選ぶことが大切です。

例えば、a_{n+1}=a_n+2n+1という漸化式を考えます。

この場合、整理するとa_{n+1}-a_n=2n+1となるため、階差型として考えるのが自然です。差がすぐ求まるので、その後に和を取れば一般項を求められます。

一方、a_{n+1}=3a_n+2のような式では、階差を取っても簡単にはなりません。この場合は変形して等比数列にする方法が適しています。

漸化式を見たときは、次の順番で考えると判断しやすくなります。

数学の問題では、同じ答えにたどり着く方法が複数存在することがよくあります。そのため、解法の選択は「どの形にすると一番見やすいか」という視点で考えることが重要です。

Nの一次式を含む漸化式では、変形型と階差型のどちらも使うことができます。

等比数列に変形できる場合は変形型、差を取ったときに簡単になる場合は階差型が向いています。

大切なのは「必ずこの方法を使う」と決めることではなく、漸化式の形を見て最も計算しやすい方法を選ぶことです。多くの問題を解くことで、どちらの方法が適しているか判断できるようになります。