四面体の外接球の半径を求める問題では、立体の対称性を見抜くことが重要です。OA＝OB＝OC、さらに底面ABCが正三角形になる条件が与えられている場合、四面体は非常に規則的な形をしているため、断面を利用すると簡単に計算できます。
この記事では、OA＝OB＝OC＝2、AB＝BC＝CA＝1である四面体OABCについて、外接球の半径を求める流れを詳しく解説します。
与えられた条件から四面体の特徴を整理する
四面体OABCでは、頂点Oから底面ABCの各頂点までの距離がすべて2になっています。
つまり、OA＝OB＝OC＝2であり、底面ABCはAB＝BC＝CA＝1なので正三角形です。
このような四面体では、点Oから底面ABCへ下ろした垂線の足をGとすると、Gは正三角形ABCの中心になります。
外接球の中心を考える
外接球の中心は、すべての頂点から等距離にある点です。この四面体は底面ABCが正三角形で、Oも対称な位置にあるため、外接球の中心はOG上に存在します。
外接球の中心をP、外接球の半径をrとすると、PからOまでの距離とPからAまでの距離はどちらもrになります。
したがって、四面体を頂点Oと底面の中心Gを通る平面で切ることで、二次元の円の問題として考えることができます。
底面正三角形の中心までの距離を求める
正三角形ABCの一辺は1なので、中心Gから頂点Aまでの距離を求めます。
正三角形の外接円の半径は、辺の長さをaとするとa√3/3で求められます。
今回はa＝1なので、
GA＝√3/3
となります。
また、OA＝2なので、直角三角形OGAに三平方の定理を使うと、
OG²＋GA²＝OA²
となります。
よって、
OG²＋(√3/3)²＝4
OG²＋1/3＝4
OG²＝11/3
したがって、
OG＝√33/3
断面図から外接球の半径を求める
次に、三角形OGAを考えます。この三角形の外接円の半径が、四面体OABCの外接球の半径rになります。
三角形OGAでは、OA＝2、GA＝√3/3、OG＝√33/3です。
三角形の面積を求めると、底辺GA、高さOGを利用して、
△OGAの面積＝1/2×GA×OG
＝1/2×(√3/3)×(√33/3)
＝√99/18
＝√11/6
となります。
三角形の外接円半径Rは、辺をa,b,c、面積をSとすると、
R＝abc/(4S)
で求められます。
ここで、
OA＝2、GA＝√3/3、OG＝√33/3
を代入すると、
r＝(2×√3/3×√33/3)/(4×√11/6)
となります。
分子を整理すると、
2×√99/9＝2×3√11/9＝2√11/3
なので、
r＝(2√11/3)/(4√11/6)
＝(2√11/3)×(6/(4√11))
＝1
答えと確認
計算の結果、四面体OABCの外接球の半径は、
r＝1
となります。
一見すると、頂点間の距離がOA＝2であるため外接球も大きく感じますが、底面ABCが非常に小さい正三角形であるため、四面体は細長い形になっています。そのため外接球の半径は1になります。
まとめ
OA＝OB＝OC＝2、AB＝BC＝CA＝1の四面体では、底面ABCが正三角形であることを利用し、対称性から外接球の中心を断面上に置いて考えることができます。
ポイントは、三次元の問題をそのまま解こうとせず、中心を通る断面を作って二次元の円の問題に変換することです。
このような対称な四面体の外接球問題では、正三角形の中心までの距離と三角形の外接円半径を利用すると効率よく解くことができます。
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