指数関数の大小比較では、桁数が急激に大きくなるため、そのまま計算するのが難しくなります。そこで登場するのが「対数」です。
しかし、「対数は便利すぎて、本来の構造を見えなくしているのでは？」と感じる人も少なくありません。実際、東大の問題でも、対数を単なる計算道具としてではなく、“指数の増え方をどう理解するか”が問われています。
この記事では、2024年東大文系の問題を題材に、できるだけスマートに解法を整理しながら、「対数の存在意義」についても考えていきます。
問題(1)：5^n＞10^19 の最小の自然数 n
まず、
5^n＞10^19
を解きます。
両辺の常用対数を取ると、
nlog10 5＞19
ここで、
log10 2+log10 5=1
なので、
log10 5=1-log10 2
問題文より、
0.3<log10 2<0.31
だから、
0.69<log10 5<0.7
となります。
n の範囲を絞る
nlog10 5＞19
より、
n＞19/log10 5
です。
log10 5<0.7 より、
19/log10 5＞19/0.7≈27.14
したがって、
n≧28
が必要です。
一方、log10 5>0.69 より、
19/log10 5<19/0.69≈27.53
なので、
n=28
で条件を満たします。
よって、
n=28
です。
問題(2)：5^m+4^m＞10^19 の最小の自然数 m
次に、
5^m+4^m＞10^19
を考えます。
ここでポイントなのは、5^m が支配的であることです。
式を変形すると、
5^m(1+(4/5)^m)＞10^19
となります。
(4/5)^m は m が大きいほど小さくなるので、全体としては「ほぼ 5^m」に近い増え方になります。
m=27 と m=28 を比較する
(1)で、5^28＞10^19 が分かっています。
したがって、m=28 なら確実に成立します。
では m=27 はどうか。
5^27+4^27=5^27(1+(4/5)^27)
ここで、(4/5)^27 はかなり小さいので、全体は 5^27 の少し上程度です。
一方、
5^27=5^28/5
であり、5^28 が 10^19 を少し超える程度なので、5^27 はまだ 10^19 に届きません。
4^27 を加えても追いつけないことが分かります。
したがって、
m=28
が最小です。
この問題での「対数の存在意義」
この問題の本質は、「巨大な指数」を比較することです。
対数を使うと、
指数の比較 → 普通の掛け算・割り算
に変換できます。
つまり対数は、“見えなくしている”というより、指数の世界を人間が扱える形に翻訳していると言えます。
実際、5^28 を直接計算するのは大変ですが、対数なら「28×0.69くらい」という一次的な比較に落とし込めます。
スマート解法で重要な視点
東大レベルでは、単に計算するだけでなく、
- どこまで厳密に評価するか
- どの項が支配的か
- 不要な計算を省けるか
が重要です。
特に(2)では、「4^m は補正項に過ぎない」と見抜けるかがポイントになります。
これは解析学や極限にもつながる考え方です。
まとめ
この問題では、
- 5^n＞10^19 の最小値は n=28
- 5^m+4^m＞10^19 の最小値も m=28
となります。
対数は、巨大な指数を扱いやすい形に変換するための道具であり、「本質を隠す」というより、「本質を比較可能にする」役割を持っています。
特に東大レベルでは、対数を“計算公式”ではなく、“指数の増え方を見る視点”として使えるかが重要になります。
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