「二桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になるものは何個あるか」という問題は、一見すると難しそうですが、実は“偶数になる条件”を理解するととてもシンプルです。
この記事では、答えが65になる理由を、数学が苦手な人でも理解できるように順番に解説していきます。
まず問題の意味を整理しよう
問題文の「各位の数の積」とは、十の位と一の位をかけるという意味です。
例えば、
- 24 → 2×4＝8
- 37 → 3×7＝21
- 58 → 5×8＝40
となります。
この積が「偶数」になる二桁の自然数を数える問題です。
偶数になる条件がポイント
ここが最重要ポイントです。
掛け算では、
どちらか一方でも偶数なら、積は偶数になります。
例えば、
- 2×7＝14（偶数）
- 5×8＝40（偶数）
- 4×6＝24（偶数）
です。
逆に、
奇数×奇数だけが奇数になります。
例えば、
- 3×5＝15
- 7×9＝63
などです。
全部数えるより「逆」を考える
この問題は、「偶数になる数」を直接数えるより、
積が奇数になる数を先に数える
と簡単になります。
なぜなら、
「偶数にならない＝奇数になる」
だからです。
二桁の自然数は全部で何個？
二桁の自然数は、10から99までです。
したがって、
99−10＋1＝90個
あります。
積が奇数になる場合を考える
積が奇数になるには、
十の位も一の位も両方とも奇数
でなければなりません。
十の位の奇数
十の位に使える奇数は、
1、3、5、7、9
の5個です。
一の位の奇数
一の位も同じく、
1、3、5、7、9
の5個あります。
組み合わせは何個？
それぞれ自由に選べるので、
5×5＝25個
です。
つまり、積が奇数になる二桁の自然数は25個あります。
最後に引き算する
二桁の自然数は全部で90個でした。
そのうち、積が奇数になるものが25個。
したがって、積が偶数になるものは、
90−25＝65
となります。
答えは65個です。
なぜこの考え方が便利なの？
実は、「直接数えるより逆を考える」という方法は、数学で非常によく使われます。
今回も、偶数になる場合を全部調べるのは大変ですが、
「奇数になる条件は“両方奇数だけ”」
なので、とても簡単に数えられます。
このような考え方を「余事象を使う」と呼ぶことがあります。
実際に例を見てみよう
| 数 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 12 | 1×2 | 偶数 |
| 35 | 3×5 | 奇数 |
| 78 | 7×8 | 偶数 |
| 91 | 9×1 | 奇数 |
このように、「両方奇数のときだけ奇数」になることが確認できます。
まとめ
「各位の数の積が偶数になる二桁の自然数」は、
- 二桁の数は全部で90個
- 積が奇数になるのは“両方奇数”だけ
- 奇数×奇数の組み合わせは25個
- 90−25＝65
という流れで求められます。
この問題では、「偶数になる条件」よりも、「奇数になる条件」の方がシンプルだったことがポイントです。テストでは、この“逆から考える”発想を覚えておくと、とても役立ちます。
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