平方根を含む方程式は、根号を外すための変形や2乗する操作が必要になるため、途中の計算で迷いやすい分野です。特に、左辺と右辺の両方に平方根がある場合は、式の形を整理してから解くことが重要になります。
この記事では、2√(144−48r)−12 = √((12−2r)²−36)−2rという方程式について、どのように考えて変形していくのかを順番に解説します。
平方根の方程式を解く前に確認すること
平方根を含む方程式では、まず根号の中身が0以上になる必要があります。これは平方根が実数として存在するための条件です。
今回の式では、左辺の平方根と右辺の平方根について、それぞれ条件を確認します。
左辺では、
144−48r≧0
となる必要があります。
これを解くと、
r≦3
となります。
また右辺についても、
(12−2r)²−36≧0
を満たす必要があります。
このような条件確認は、最後に出てきた解が本当に元の式を満たすか確認するためにも重要です。
式を整理して平方根を見やすくする
与えられた式は、
2√(144−48r)−12 = √((12−2r)²−36)−2r
です。
まず左側の平方根の中を整理します。
144−48r=48(3−r)
なので、
2√(144−48r)=2√{48(3−r)}
となります。
ここで、平方根の中を完全に平方数の形に近づけると計算しやすくなります。
48=16×3なので、
√{48(3−r)}=4√{3(3−r)}
となり、
2√(144−48r)=8√{3(3−r)}
となります。
右辺の平方根を変形する
右辺の平方根は、
√((12−2r)²−36)
です。
ここで、平方差の公式を利用します。
(12−2r)²−36=(12−2r)²−6²
なので、
A²−B²=(A+B)(A−B)
の形にできます。
つまり、
((12−2r)+6)((12−2r)−6)
となります。
整理すると、
(18−2r)(6−2r)
になります。
さらに2をくくると、
4(9−r)(3−r)
となります。
したがって、
√((12−2r)²−36)=√{4(9−r)(3−r)}
=2√{(9−r)(3−r)}
となります。
両辺を比較して解を求める
変形した式は、
8√{3(3−r)}−12=2√{(9−r)(3−r)}−2r
になります。
ここで、両方の平方根を見ると、
(9−r)(3−r)=3(3−r)(3−r)
となることに注目します。
つまり、
√{(9−r)(3−r)}=√3(3−r)
となる範囲では式を整理できます。
また、
√{3(3−r)}
も同じ形を含んでいるため、置き換えを利用すると計算が簡単になります。
ここで、
x=√{3(3−r)}
と置くと、
x²=3(3−r)
となります。
このように平方根を文字に置き換えることで、2次方程式の形に変形できます。
平方根方程式で注意する2乗の操作
平方根を消すために両辺を2乗する方法は有効ですが、注意点があります。
例えば、
√A=√B
の場合は2乗して、
A=B
とできます。
しかし、
√A=B
のような場合は、Bが0以上である条件も必要になります。
また、両辺を2乗すると元の式にはなかった解が含まれる可能性があります。そのため、最後には必ず元の方程式へ代入して確認する必要があります。
平方根を含む方程式を解くためのポイント
平方根の方程式では、いきなり2乗するのではなく、まず根号の中を整理することが大切です。
今回のように平方差の公式が使える場合は、
a²−b²=(a+b)(a−b)
を利用すると式が大きく簡単になります。
また、平方根の中に同じ因子が現れる場合は、文字置換を使うことで複雑な計算を避けることができます。
まとめ：平方根方程式は条件確認と式変形が重要
平方根を含む方程式を解くときは、①平方根の定義域を確認する、②平方根の中を整理する、③公式や置換を利用する、④最後に解を確認する、という流れが基本です。
今回のような複雑な形の式でも、平方差の公式や同じ形の平方根に注目することで、少しずつ整理して解くことができます。
平方根の計算では、単純に2乗して終わりではなく、元の式に戻して確認することが正しい答えを得るための重要なポイントです。
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