2次不等式の問題では、「すべての実数xに対して成り立つ条件」や「整数解が何個あるかを求める条件」で判別式Dを利用する場面がよくあります。しかし、なぜD≦0になるのか、どのような考え方で解けばよいのか疑問に感じる人も多い分野です。
この記事では、2次関数のグラフと不等式の関係をもとに、判別式を使う理由や、具体的な問題の解法をわかりやすく解説します。
2次不等式と2次関数のグラフの関係
2次不等式を解くときは、まず2次関数のグラフをイメージすることが重要です。
例えば、y=ax²+bx+cという2次関数では、aの符号によって放物線の向きが決まります。a>0なら下に凸、a<0なら上に凸のグラフになります。
不等式が常に0以上になるという条件は、グラフがx軸より下に行かないことを意味します。このような場合、x軸との交点がないか、接している必要があります。
「全ての実数xに対して成り立つ」ときD≦0になる理由
問題1のように、x²-(k+3)x+1≧0がすべての実数xで成立すると考えます。
この式を2次関数として見ると、y=x²-(k+3)x+1です。x²の係数は1なので、グラフは下に凸になります。
下に凸のグラフが常にx軸より上にあるためには、x軸と2点で交わってはいけません。もし2点で交わると、その間の範囲ではグラフがx軸より下になり、不等式を満たさない部分ができてしまいます。
したがって必要なのは、x軸と交わらない、または1点だけで接する状態です。これは2次方程式の解が実数解を2つ持たないことを意味するため、判別式はD≦0になります。
判別式Dの意味を理解する
2次方程式ax²+bx+c=0の判別式は、D=b²-4acで表されます。
D>0の場合は異なる2つの実数解を持ち、グラフはx軸と2点で交わります。
D=0の場合は重解を持ち、グラフはx軸に1点で接します。
D<0の場合は実数解を持たず、グラフはx軸と交わりません。
そのため、「常に0以上」や「常に0以下」のような条件では、グラフが反対側へ飛び出さないようにD≦0またはD≧0という条件を利用します。
問題1の解き方：x²-(k+3)x+1≧0
式を2次関数として考えると、a=1、b=-(k+3)、c=1です。
すべての実数xで0以上になるためには、下に凸のグラフがx軸と交わらないか接する必要があります。
したがって判別式D≦0より、
D={-(k+3)}²-4×1×1≦0
(k+3)²-4≦0
となります。
これを整理すると、
(k+3)²≦4
-2≦k+3≦2
-5≦k≦-1
となり、求めるkの範囲が得られます。
2次不等式x²-(a+1)x+a<0の解き方
次に、パラメータaを含む2次不等式を考えます。
x²-(a+1)x+aを因数分解すると、
x²-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)
となります。
したがって、不等式は、
(x-1)(x-a)<0
です。
2つの因数の積が負になるのは、2つの解の間にxがある場合です。そのため、解は1とaの間になります。
a>1の場合は、
1<x<a
となります。
a<1の場合は、
a<x<1
となります。
整数解がちょうど2個になる条件の求め方
次に、この範囲の中に整数xがちょうど2個存在する条件を考えます。
例えばa>1の場合、整数解は1とaの間に存在します。つまり、1より大きくaより小さい整数が2個あればよいことになります。
整数の並びを考えると、aの位置によって入る整数の数が変化します。
例えば、3<a≦4の場合、整数解は2と3の2個になります。このように、境界となる整数を確認しながら範囲を決定します。
このタイプの問題では、解の範囲を求めた後、整数が何個含まれるかを数えることがポイントです。
2次不等式問題を解くときの考え方
2次不等式では、公式を暗記するだけではなく、「グラフがどのような状態になるか」を考えることが重要です。
「すべての実数で成立」という条件が出たら、まずグラフ全体がx軸の上または下にある必要があると考えます。
その結果、判別式を使う必要があるのか、解の範囲を考える必要があるのか判断できます。
また、パラメータを含む問題では、解の範囲だけでなく、その中に整数がいくつ入るかを丁寧に確認することが大切です。
まとめ：判別式D≦0はグラフがx軸を横切らない条件
「すべての実数xに対して2次式が0以上になる」という条件でD≦0を使う理由は、2次関数のグラフがx軸より下に行かないようにするためです。
下に凸のグラフでは、x軸と2点で交わると必ず一部が負になります。そのため、交点がないか接する状態であるD≦0が必要になります。
2次不等式の問題は、判別式・因数分解・グラフ・整数条件を組み合わせて考えることで解きやすくなります。公式だけでなく、グラフの意味を理解することが得点力向上につながります。
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