最小公倍数の問題では、素因数分解を使って条件を整理します。しかし、同じ素数が複数登場すると「どの指数まで必要なのか」が分かりにくく感じることがあります。
この記事では、nと24の最小公倍数が360になるときのnの求め方を通して、なぜ3が2個必要になるのか、また1個ではなぜ条件を満たさないのかを詳しく解説します。
最小公倍数は素因数の指数を比較して決まる
まず、最小公倍数を求めるときの基本を確認します。
2つの整数を素因数分解したとき、最小公倍数はそれぞれの素因数について大きい方の指数を採用することで求められます。
例えば、
12=2²×3
18=2×3²
の場合、最小公倍数は、
2²×3²=36
になります。
2の指数は2と1を比べて大きい方の2を使い、3の指数は1と2を比べて大きい方の2を使っています。
24と360を素因数分解して比較する
問題では、
24とnの最小公倍数が360
となる条件を考えます。
それぞれ素因数分解すると、
24=2³×3
360=2³×3²×5
です。
ここで、24はすでに2³を持っています。そのため、最小公倍数を360にするには、2についてはnが何個持っていても最大は3個までであれば問題ありません。
一方、3について見ると、24には3が1個しかありません。
しかし、360には3²、つまり3が2個必要です。
なぜnには3を2個入れる必要があるのか
ここが最も重要なポイントです。
もしnが、
n=2^a×3×5
だった場合を考えます。
このとき、nに含まれる3の個数は1個です。そして24にも3が1個しかありません。
最小公倍数では、それぞれが持っている指数の大きい方を使います。
つまり、
24=2³×3¹
n=2^a×3¹×5
の場合、3については、
max(1,1)=1
となります。
その結果、最小公倍数に含まれる3は1個だけになり、
2³×3×5=120
となってしまいます。
これは、求めたい360=2³×3²×5とは異なります。
したがって、3を2個持たせる必要があります。
nの形を決める考え方
360の素因数分解は、
360=2³×3²×5
です。
最小公倍数が360になるためには、nに360で使われている素因数を超えない範囲で含ませる必要があります。
まず2については、24がすでに2³を持っています。
そのため、nの2の指数は、
0、1、2、3
のどれでも大丈夫です。
次に3については、24が3¹しか持っていないため、n側で3²を補う必要があります。
最後に5については、24には存在しません。そのため、360を作るにはnが5を必ず1個持つ必要があります。
よって、
n=2^a×3²×5（a=0,1,2,3）
となります。
実際にnの値を確認する
aの値ごとに計算すると、
a=0の場合
n=3²×5=45
a=1の場合
n=2×3²×5=90
a=2の場合
n=4×3²×5=180
a=3の場合
n=8×3²×5=360
となります。
したがって答えは、
45、90、180、360
です。
まとめ：最小公倍数では足りない指数を補うことが重要
最小公倍数が360になるためには、最小公倍数の素因数分解である2³×3²×5を作れる必要があります。
3については、24が持っているのが3¹だけなので、それだけでは360の3²を作れません。そのため、nが3を2個持つ必要があります。
最小公倍数の問題では、「どちらか一方がすでに持っているから大丈夫」と考えるのではなく、目標となる最小公倍数の指数と比較して、不足している部分を補うという考え方が大切です。
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