毎日2倍ずつ増えていく米粒の話は、数学でよく登場する「等比数列」の考え方を使って解くことができます。最初は少ない量でも、一定の割合で増え続けると合計が急激に大きくなるのが特徴です。この記事では、1日目を1粒として、その日までもらった米粒の合計が10万粒を超える日数の求め方を詳しく解説します。
倍々に増える数は等比数列で表せる
問題では、1日目に1粒、2日目に2粒、3日目に4粒というように、毎日もらう米粒の数が前の日の2倍になっています。
このように、隣り合う項の比が一定になる数列を「等比数列」といいます。
今回の場合、米粒の数は次のようになります。
1日目：1粒
2日目：2粒
3日目：4粒
4日目：8粒
5日目：16粒
したがって、n日目にもらう米粒の数は、
2の(n−1)乗
と表すことができます。
n日目までにもらった米粒の合計を求める
問題では「その日までもらった米粒の和」が10万粒を超える日を求めます。つまり、n日目までの合計を考える必要があります。
等比数列の和の公式は、初項をa、公比をr、項数をnとすると、
S＝a(rⁿ−1)/(r−1)
で求められます。
今回の数列では、
- 初項 a＝1
- 公比 r＝2
- 項数 n
なので、
S＝1×(2ⁿ−1)/(2−1)
となり、
S＝2ⁿ−1
になります。
10万粒を超える条件を考える
合計が10万粒を超えるという条件なので、
2ⁿ−1＞100000
となります。
両辺に1を足すと、
2ⁿ＞100001
となります。
ここから、2の累乗を順番に確認します。
| n | 2ⁿ |
|---|---|
| 16 | 65536 |
| 17 | 131072 |
n＝16の場合は65536で100001を超えませんが、n＝17の場合は131072となり条件を満たします。
したがって、10万粒を初めて超えるのは17日目です。
実際の合計で確認してみる
17日目までにもらう米粒の合計は、等比数列の和より、
S＝2¹⁷−1
となります。
2¹⁷は131072なので、
S＝131072−1＝131071粒
となります。
これは100000粒を超えているため、答えが17日目であることが確認できます。
倍々に増える数が急激に大きくなる理由
この問題の面白い点は、最初の増加が小さく見えても、2倍という割合で増え続けると後半で一気に数が大きくなることです。
例えば、10日目にもらう米粒は512粒ですが、17日目には131072粒になります。わずか7日間で256倍もの差が生まれます。
このような増え方は、人口増加、ウイルスの増殖、複利計算など、現実のさまざまな場面でも利用されています。
まとめ｜倍々に増える米粒問題は等比数列で解ける
1日目に1粒、次の日から毎日2倍になる米粒の問題では、等比数列の和を利用します。
n日目までの合計は「2ⁿ−1」と表せるため、10万粒を超える条件は「2ⁿ＞100001」となります。
2¹⁶＝65536、2¹⁷＝131072なので、初めて10万粒を超えるのは17日目です。倍々に増える数列では、後半になるほど急激に増加することを理解することが重要です。
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