高校数学でよく出題される「yはxの関数である。yをxの式で表し、定義域を示せ」という問題では、文章から数量の関係を読み取り、xとyの関係式を作る力が求められます。この記事では、距離・円周・長方形の面積を例にして、式の作り方と定義域の考え方をわかりやすく解説します。
関数とは何かを理解する
関数とは、ある数値xを決めると、それに対応してyの値がただ1つ決まる関係のことです。今回の問題では、xを変化する量、yをそれによって決まる量として考えます。
式を作るときの基本は、「何をxとしているか」「何をyとしているか」を文章から読み取ることです。そして、xとyの関係を数式で表します。
また、定義域とは「xに入れることができる値の範囲」のことです。長さや時間など、現実の条件がある場合は、その条件に合わせて範囲を決めます。
（1）分速250mで4分間走った距離
問題では「分速250mで4分間走った距離をymとする」とあります。ここでは、時間をx分、距離をymと考えると関係式を作ることができます。
1分間に進む距離は250mなので、x分間走った距離は「250×x」で表せます。
したがって、yをxの式で表すと次のようになります。
y＝250x
定義域について考えます。時間xは走る時間なので、0分より小さくなることはありません。また、問題では4分間走ることを条件としているため、
0≦x≦4
となります。
例えば、2分走った場合はy＝250×2＝500となり、500m進んだことになります。
（2）半径xcmの円の円周の長さ
円周の長さは「直径×円周率」で求められます。半径がxcmの場合、直径は半径の2倍なので2xcmになります。
したがって、円周の長さyは、
y＝2πx
と表せます。
定義域を考えると、半径は長さなので0より大きい必要があります。そのため、
x＞0
となります。
例えば、半径3cmの円なら、y＝2π×3＝6πcmとなり、円周の長さを求めることができます。
（3）周囲28cmの長方形の面積
この問題では、縦の長さをxcm、面積をycm²としています。まず、長方形の横の長さをxを使って表す必要があります。
長方形の周囲の長さは、「縦＋横」を2倍したものです。縦をxcm、横をa cmとすると、
2(x＋a)＝28
となります。
両辺を2で割ると、
x＋a＝14
なので、横の長さは、
a＝14−x
となります。
面積は「縦×横」なので、
y＝x(14−x)
となります。
定義域は、縦と横の両方が正の長さである必要があります。
縦より、
x＞0
横より、
14−x＞0
つまり、
x＜14
なので、定義域は、
0＜x＜14
になります。
例えば縦が5cmの場合、横は9cmとなり、面積は5×9＝45cm²になります。
関数の式を作るときのポイント
文章問題で関数の式を作る場合は、最初に「何が変化する量なのか」を確認することが大切です。
今回の問題では、時間、半径、縦の長さがxとして設定されています。そして、それに対応して距離、円周、面積がyとして決まっています。
また、定義域を忘れないことも重要です。数学上は入力できる値があっても、現実の問題では長さや時間などの条件によって制限される場合があります。
まとめ｜文章から数量関係を読み取れば関数問題は解ける
関数の文章問題では、まずxとyが何を表しているのかを整理し、その関係を式に変換することがポイントです。
今回の例では、距離は「速さ×時間」、円周は「直径×円周率」、長方形の面積は「縦×横」という基本公式を使うことで式を作ることができます。
さらに、定義域はxが現実的に取り得る範囲を考えることで求められます。文章を数式に置き換える練習を重ねることで、高校数学の関数問題を正確に解けるようになります。
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