高校数学の真偽問題では、「AならばB」という形の命題を正しく判断することが重要です。特に「AでないならばBでない」のような文章は、日本語の感覚だけで判断すると間違えやすい部分があります。この記事では、二次方程式を使った具体例を通して、命題の真偽や反例の考え方をわかりやすく解説します。
「AならばB」の真偽を判断する基本ルール
数学における「AならばB」という命題は、「Aを満たすすべてのものがBも満たす」という意味です。
つまり、Aという条件を満たすものの中に、Bを満たさない例が1つでもあれば、その命題は偽になります。
反対に、Aを満たすものがすべてBを満たしている場合は、その命題は真です。
重要なのは、Bを満たすものがあるかどうかではなく、「Aを満たしているのにBを満たさないものが存在するか」を確認することです。
今回の命題を整理する
問題の命題は、
「x²−3x＋2＝0でないならば、x＝2でない」
という形です。
ここで、
- A：x²−3x＋2≠0
- B：x≠2
と置くと、「AならばB」が正しいかどうかを調べる問題になります。
まず、Aの条件を満たすxについて考え、そのとき必ずx≠2になるかを確認します。
元の式を因数分解して条件を確認する
二次式を因数分解すると、
x²−3x＋2＝(x−1)(x−2)
となります。
したがって、
x²−3x＋2＝0
となるのは、
x＝1またはx＝2
の場合です。
つまり、「x²−3x＋2＝0でない」という条件は、
x≠1かつx≠2
という意味になります。
この条件を満たしているなら、必ずx≠2でもあります。
したがって、
x²−3x＋2≠0ならばx≠2
は正しい命題なので、真になります。
反例として考えた「x＋1＝3」が間違いになる理由
質問では、反例として「x＋1＝3より偽」と考えています。
この式を解くと、
x＝2
になります。
確かにx＝2の場合、右側の条件「x≠2」は成り立ちません。
しかし、反例にするためには、左側の条件であるx²−3x＋2≠0も満たしている必要があります。
x＝2を代入すると、
2²−3×2＋2＝4−6＋2＝0
となります。
つまり、x＝2は「x²−3x＋2≠0」という条件を満たしていません。
そのため、これは反例にはなりません。
反例を探すときの注意点
「AならばB」が偽であることを示すには、
Aは正しいが、Bは間違っている例
を探す必要があります。
今回なら、
- x²−3x＋2≠0を満たす
- x＝2になっている
という両方の条件を満たすxを探さなければいけません。
しかし、x＝2の場合は必ずx²−3x＋2＝0になるため、そのような例は存在しません。
このように、反例探しでは結論だけを見るのではなく、前提条件を必ず確認することが大切です。
似た問題で理解を深める
例えば、「x＞0ならばx²＞0」という命題を考えます。
x＝1ならば1²＝1なので成立しますし、x＝5でも成立します。x＞0を満たすすべての数でx²＞0になるため、この命題は真です。
一方で、「x²＞0ならばx＞0」という命題は偽です。
x＝−1の場合、x²＝1で0より大きいですが、x＞0ではありません。
このように、条件と結果の向きを変えるだけで命題の真偽は変わることがあります。
まとめ｜真偽問題では条件を満たす反例だけを探す
「x²−3x＋2≠0ならばx≠2」という命題は、x²−3x＋2を因数分解すると、条件がx≠1かつx≠2になるため真です。
間違えやすいポイントは、x＝2という値だけを見ることです。反例にするには、左側の条件も同時に満たしていなければなりません。
真偽問題では、「結論が間違っている例」ではなく、「前提を満たしているのに結論が間違っている例」を探すことを意識すると、正しく判断できるようになります。
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