三角形の内接円の半径を求める問題では、まず三角形の面積を正しく求めることが重要です。3辺の長さが18、18、12の二等辺三角形では、高さの計算で間違いやすいポイントがあります。ここでは、どこで計算がずれてしまったのかを確認しながら、正しい内接円の半径の求め方を解説します。
内接円の半径を求める基本公式
三角形の面積をS、内接円の半径をr、三角形の3辺の長さをa,b,cとすると、内接円の半径は次の公式で求められます。
S=1/2×(a+b+c)×r
したがって、半径rは、
r=2S/(a+b+c)
となります。今回の三角形では、面積Sと3辺の合計を正しく求めれば内接円の半径を計算できます。
まず三角形の高さを確認する
3辺が18、18、12なので、この三角形は底辺12の二等辺三角形です。
二等辺三角形では、頂点から底辺へ垂線を引くと、底辺は6と6に分かれます。
できた直角三角形について三平方の定理を使うと、高さをhとして、
18²=6²+h²
となります。
324=36+h²
h²=288
h=12√2
となり、高さは12√2で正しいです。
間違いは面積の計算ではなく次の段階にある
求めた高さを使って面積を計算すると、
S=1/2×12×12√2
=72√2
となります。
ここで注意が必要です。質問の計算では「高さは12√2より面積は36√2」としていますが、底辺×高さ÷2の計算で、
12×12√2÷2=72√2
となるため、面積は36√2ではなく72√2です。
つまり、間違いは高さの求め方ではなく、三角形の面積を求める際に1/2をかける計算で数字を取り違えている点です。
正しい内接円の半径を求める
面積が求まったので、内接円の半径の公式を使います。
3辺の合計は、
18+18+12=48
です。
したがって、
r=2×72√2÷48
=144√2÷48
=3√2
となります。
よって、この三角形に内接する円の半径は3√2です。
別の方法で確認する場合
二等辺三角形の内接円の半径は、面積と半周長を使って求めることもできます。
半周長をsとすると、
s=(18+18+12)÷2=24
内接円の半径は、
r=S÷s
なので、
r=72√2÷24=3√2
となり、同じ結果になります。
この方法では、公式r=2S/(a+b+c)を覚えなくても、半周長を利用することで同じ計算ができます。
まとめ｜内接円の問題では面積計算を丁寧に確認する
3辺18、18、12の三角形では、高さ12√2の求め方は正しくできています。
間違えていた部分は、面積を求めるときに12×12√2÷2を計算して36√2としてしまった点です。正しい面積は72√2になります。
内接円の半径は、面積Sと3辺の合計を使ってr=2S/(a+b+c)で求められるため、今回はr=3√2となります。三角形の公式問題では、途中の数値を焦らず確認することが正解への近道です。
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