三角形の面積は、一般的には「底辺×高さ÷2」で求めます。しかし、3辺の長さしか分からない場合、高さが直接求められないため困ることがあります。実は、3辺の長さだけから面積を求める方法はいくつかあり、中学数学の考え方でも利用できる方法があります。この記事では、3辺から面積を求める考え方と、高校数学で登場する便利な公式について分かりやすく解説します。
基本の三角形の面積公式では高さが必要になる
三角形の面積の基本公式は、
面積＝底辺×高さ÷2
です。
しかし、例えば3辺の長さが「5cm、6cm、7cm」のように与えられている場合、底辺は選べても高さが分かりません。そのため、そのままでは面積を計算できません。
そこで、3辺の長さから高さを求める方法を考える必要があります。
3辺が分かる二等辺三角形なら高さを求められる
3辺のうち2辺が同じ長さの場合は、中学数学の範囲でも比較的簡単に面積を求められます。
例えば、辺の長さが18cm、18cm、12cmの二等辺三角形では、頂点から底辺に垂線を引くと、底辺12cmは6cmずつに分かれます。
すると、できた直角三角形で三平方の定理を使って高さを求められます。
高さをhとすると、
18²＝6²＋h²
324＝36＋h²
h²＝288
h＝12√2
となり、面積は、
12×12√2÷2＝72√2
と求められます。
どんな三角形でも3辺から面積を求めるヘロンの公式
3辺の長さだけから面積を求める一般的な公式として「ヘロンの公式」があります。
3辺の長さをa,b,cとし、半周長をsとすると、
s=(a+b+c)÷2
面積Sは、
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
で求められます。
例えば、3辺が5cm、6cm、7cmの場合、
s=(5+6+7)÷2=9
なので、
S=√{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}
=√216
=6√6
となります。
ヘロンの公式は中学数学では基本的に扱わない
ヘロンの公式は非常に便利ですが、中学校の数学の教科書では通常学習しません。
中学数学では、三平方の定理や相似、三角形の高さを利用して面積を求めることが基本です。
そのため、学校の問題で3辺だけが与えられている場合は、二等辺三角形など高さを求めやすい形になっていることが多く、図形の特徴を利用して解くことになります。
一方で、高校数学や大学数学では、計算を簡単にするためにヘロンの公式を使うことがあります。
3辺から面積を求めるときの考え方
3辺の長さが分かっている場合、まず確認するべきことは「高さを求められる形かどうか」です。
例えば、2辺が等しい二等辺三角形なら、底辺を半分にして三平方の定理を使うことで高さが求まります。
また、直角三角形なら、2辺を使って簡単に面積を求めることができます。
どちらにも当てはまらない一般的な三角形の場合は、ヘロンの公式を利用すると3辺だけで面積を求められます。
まとめ｜3辺だけでも三角形の面積は求められる
3辺の長さしか分からない三角形でも、面積を求める方法は存在します。
中学数学の範囲では、三平方の定理などを使って高さを求める方法が中心です。特に二等辺三角形の場合は、底辺を半分にすることで高さを計算できます。
一方、どんな三角形でも対応できる公式としてヘロンの公式があります。問題のレベルに応じて、図形の性質を利用する方法と公式を使う方法を使い分けることが大切です。
コメント