3次方程式が3つの実数解を持つ条件とは？導関数の実数解2つを確認する意味を解説

3次方程式が3つの実数解を持つことを証明する問題では、グラフの形や極大値・極小値の関係を利用する方法がよく使われます。その中で、解答例に「導関数が2つの実数解を持つことを示す」という手順が入っていることがあります。

一見すると極大値と極小値の積が負であることだけを示せば十分に思えますが、導関数の実数解を確認することには重要な意味があります。この記事では、3次関数の実数解の個数と導関数の関係について、なぜその確認が必要なのかをわかりやすく解説します。

3次方程式が3つの実数解を持つ条件

3次方程式を関数として考え、f(x)=0の形にすると、方程式の実数解の個数はグラフとx軸の交点の数に対応します。

3次関数のグラフは基本的にS字型の曲線になります。このグラフがx軸と3回交わるためには、途中で上昇と下降を切り替える必要があります。

つまり、極大値と極小値が存在し、片方が正、もう片方が負になることが必要です。これを利用して、極大値×極小値<0を示すことで3つの実数解を持つことを証明できます。

3次関数f(x)の増減を調べるには、導関数f'(x)を使います。導関数は2次関数になるため、その解は3次関数の傾きが0になる場所を表します。

f'(x)=0の解が2つあるということは、3次関数に極大点と極小点が存在することを意味します。

例えば、f'(x)が常に正の場合、グラフはずっと増加するだけなので、x軸との交点は1つしかありません。3次関数が3つの実数解を持つには、途中で増加から減少、そして再び増加へ変化する必要があります。

解答例で導関数の実数解が2つあることを確認する理由は、極大値と極小値そのものが存在することを保証するためです。

極大値や極小値という言葉は、単に計算できるという意味ではなく、グラフが実際に山や谷を持つことを前提にしています。そのため、その前提を確認するためにf'(x)=0が異なる2つの実数解を持つことを示します。

つまり、導関数の2つの実数解の確認は「極大値・極小値が存在することの証明」という役割があります。

すでに増減表を書いていて、導関数の2つの解が異なることや極大値・極小値の存在が明らかになっている場合は、改めて導関数の実数解を示す必要がない場合もあります。

例えば、増減表によってグラフが「増加→減少→増加」という形になることが確認できていれば、極大点と極小点が存在することは明らかです。

その場合、あとは極大値と極小値の符号を調べれば、x軸との交点が3つあることを判断できます。

ただし、答案として安全に書くなら、最初にf'(x)=0が異なる2つの実数解を持つことを示しておくと、論理の流れが明確になります。

3次関数の導関数は2次関数なので、2つの異なる実数解を持つかどうかは判別式で確認できます。

例えば、f'(x)=ax²+bx+cの場合、判別式D=b²-4acが正ならば異なる2つの実数解を持ちます。

この条件を確認することで、「この3次関数には山と谷が存在する」ということを数学的に保証できます。

そのため、解答では単なる計算手順としてではなく、3つの実数解を持つために必要なグラフの形を確認する目的で導関数の判別を行っています。

3次方程式が3つの実数解を持つことを示すとき、導関数が2つの実数解を持つことを確認するのは、極大値と極小値が存在することを保証するためです。

すでに増減表によって極大・極小の存在が明らかなら省略できる場合もありますが、論理を明確にするために解答では確認することが多くあります。

3次方程式の実数解の個数を考える問題では、単に値を計算するだけではなく、導関数を使ってグラフの形を確認することが重要なポイントになります。