複素解析では、単位円上の平均値を利用して対数を含む積分を求める問題がよく登場します。特にlog|z-a|のような形の積分は、単なる三角関数の積分として扱うよりも、複素関数の性質を利用すると簡潔に計算できます。この記事では、|a|<1<|b|を満たす複素定数a,bに対して、z=e^{iθ}とおいた場合のlog|(z-a)(z-b)|²の平均値を求める考え方を解説します。
問題の積分を分解して考える
与えられた積分は、次の形です。
I=1/(2π)∫₀²π log|(z-a)(z-b)|² dθ
まず、絶対値の積の性質を利用すると、
|(z-a)(z-b)|²=|z-a|²|z-b|²
となります。さらに対数の性質log(xy)=logx+logyを使うことで、積分を2つの部分に分けることができます。
I=1/(2π)∫₀²π log|z-a|² dθ + 1/(2π)∫₀²π log|z-b|² dθ
したがって、それぞれの項を個別に計算すればよいことになります。
単位円上のlog|z-a|の平均値を求める基本公式
ここで重要になるのが、単位円上での対数ポテンシャルの平均値に関する性質です。
z=e^{iθ}とすると、
1/(2π)∫₀²π log|e^{iθ}-c|dθ
は、cの絶対値によって値が変化します。
|c|<1の場合、単位円の内側に点cがあるため、平均値は0になります。
一方、|c|>1の場合は、
log|c|
になります。これは、外側にある点では円の半径による影響が残るためです。
|a|
まず、aについて考えます。条件として|a|<1なので、aは単位円の内部にあります。
したがって、平均値の公式より、
1/(2π)∫₀²π log|e^{iθ}-a|dθ=0
となります。
今回の積分ではlog|e^{iθ}-a|²を考えているため、
log|e^{iθ}-a|²=2log|e^{iθ}-a|
より、この部分の積分値も0になります。
|b|>1の場合の積分を計算する
次にbについて考えます。条件|b|>1より、bは単位円の外側にあります。
この場合、
e^{iθ}-b=-b(1-e^{iθ}/b)
と変形できます。
絶対値を取ると、
|e^{iθ}-b|=|b||1-e^{iθ}/b|
となります。
ここで|1/b|<1なので、先ほどの平均値公式を利用できます。
log|e^{iθ}-b|=log|b|+log|1-e^{iθ}/b|
後半の項の平均値は0になるため、
1/(2π)∫₀²π log|e^{iθ}-b|dθ=log|b|
となります。
また、平方が付いているため、
1/(2π)∫₀²π log|e^{iθ}-b|²dθ=2log|b|
になります。
最終的な積分値を求める
ここまでの結果をまとめると、aに関する項は0、bに関する項は2log|b|となります。
したがって、
I=0+2log|b|
となります。
よって求める積分値は、
I=2log|b|
です。
この計算で使われた複素解析の考え方
今回の問題のポイントは、積分を直接計算しようとするのではなく、単位円上の平均値という性質を利用することです。
log|z-a|は複素解析では調和関数に関連する重要な関数であり、円周上の平均値が内部の値と関係するという性質を持っています。
そのため、複雑なθの積分を展開するよりも、点が単位円の内側にあるか外側にあるかを判断することで、すぐに結果を求めることができます。
まとめ
複素定数a,bについて|a|<1<|b|という条件がある場合、単位円上の対数積分では内側と外側の違いが重要になります。
|a|<1の項は平均値が0となり、|b|>1の項は外側の大きさによってlog|b|が現れます。さらに今回は絶対値の2乗があるため、結果は2倍になります。
最終的な答えはI=2log|b|です。このような積分問題では、複素解析の平均値性質を利用することで、直接計算するよりも簡潔に解くことができます。
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