本記事では、広義積分 ∫[0,1] 1/√(1-x^(1/4)) dx の収束性判定と、その値の計算方法について解説します。特異点を含む積分は、収束判定と適切な変数変換が重要になります。
積分の構造と特異点の確認
被積分関数 1/√(1-x^(1/4)) は x→1 のとき分母が0に近づくため特異性を持ちます。
そのためこの積分は広義積分として扱い、収束性の確認が必要です。
まずは x=1 付近の挙動を重点的に解析します。
収束性の判定
x→1 のとき 1 – x^(1/4) ≈ (1/4)(1-x) と一次近似できます。
したがって被積分関数は (1-x)^(-1/2) と同程度の発散性を持ちます。
∫(1-x)^(-1/2) dx は収束するため、元の積分も収束します。
変数変換による計算
t = x^(1/4) と置くと x = t^4, dx = 4t^3 dt となります。
積分区間は x:0→1 に対し t:0→1 に変換されます。
これにより積分は ∫[0,1] 4t^3 / √(1-t) dt に変形されます。
ベータ関数形式への変形
積分は 4 ∫[0,1] t^3 (1-t)^(-1/2) dt と書けます。
これはベータ関数 B(4,1/2) に一致します。
ガンマ関数を用いて値を評価できます。
積分値の計算
B(4,1/2) = Γ(4)Γ(1/2)/Γ(9/2) を用いて計算します。
Γ(4)=6, Γ(1/2)=√π を代入し整理します。
最終的に積分値は 32/15 となります。
まとめ
この広義積分は x=1 に特異性を持つものの収束します。
変数変換によりベータ関数へ帰着することで計算可能です。
結果として積分値は 32/15 と求まります。
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