東京、仙台、札幌を地図上で結んでできる三角形について考えると、その外心や垂心が地球の外側、つまり宇宙空間に位置するという話があります。平面上の三角形では外心や垂心は必ず三角形の内部または周辺に存在しますが、地球上の3地点を扱う場合は少し事情が異なります。この記事では、なぜ都市間の三角形の中心が地球内部ではなく宇宙空間側に現れるのか、その理由を分かりやすく解説します。
地図上の三角形と数学上の三角形は少し違う
普段学校で学ぶ三角形は、平面の上に描かれた図形です。例えば紙の上に東京、仙台、札幌に相当する3点を描けば、その三角形には外心や垂心を求めることができます。
しかし、実際の地球上にある都市の位置は、平面ではなく球面上に存在しています。地球はほぼ球体であり、東京や仙台、札幌の位置は地球表面という曲面の上の点になります。
この違いが、外心や垂心の位置を考えるときの大きなポイントになります。平面幾何の公式をそのまま地球表面の3点に適用すると、地球中心や宇宙空間に関係する結果が現れることがあります。
外心とは何か、なぜ地球の外側に出るのか
外心とは、三角形の3つの頂点から等距離にある点のことです。平面上では、3辺の垂直二等分線が交わる場所が外心になります。
東京、仙台、札幌を3次元空間上の点として考える場合、それぞれの地点は地球中心からほぼ同じ距離にあります。なぜなら、どの都市も地球表面上にあるため、地球半径分だけ離れた位置にあるからです。
そのため、この3点を結ぶ三角形の外心を3次元空間で求めると、地球中心に近い位置、あるいは条件によっては地球の外側に位置する点になります。特に平面として扱う方法ではなく、3点を含む平面上で外接円を考えるため、その中心が地球外側方向に現れることがあります。
東京・仙台・札幌の配置が特殊な理由
東京、仙台、札幌は日本列島上で南北方向に並んだ位置関係を持っています。このため、3地点を結んだ三角形は地球表面上では細長い形になります。
三角形が細長くなると、平面上の外心は三角形の中心から大きく離れることがあります。特に角度が極端に小さい三角形では、外心は頂点から遠い位置に移動します。
例えば、ほぼ一直線上に並んだ3点を考えると、外接円を作るためには非常に大きな半径が必要になります。その結果、中心点は三角形から遠く離れた場所になります。
垂心が宇宙空間になる仕組み
垂心とは、三角形の3つの頂点から引いた高さ（垂線）が交わる点です。通常の平面三角形では、鋭角三角形なら内部、鈍角三角形なら外部に垂心があります。
東京、仙台、札幌を3次元空間上の点として考える場合、その三角形の面は地球表面ではなく、宇宙空間を通る平面になります。その平面上で高さを考えるため、垂心も地球表面から離れた位置に存在する場合があります。
これは不思議な現象に見えますが、三角形そのものが地球表面に貼り付いた図形ではなく、宇宙空間内に存在する平面三角形として定義されているためです。
地球上の三角形では球面幾何学も重要になる
地球上の3地点を結ぶ場合、本来は球面三角法という考え方を使います。航空機の航路や測量では、地球が球体であることを考慮して計算します。
球面上では、平面の三角形とは異なる性質があります。例えば、球面三角形の内角の合計は180度より大きくなることがあります。
そのため、「地球上にある3都市で作った三角形の中心」と「平面上に投影した三角形の中心」は別のものになります。宇宙空間に外心や垂心が現れるという現象は、地球を平面として見るか、3次元空間として見るかによる違いから生じます。
まとめ：宇宙空間に中心があるのは三角形を3次元で考えるため
東京、仙台、札幌を結ぶ三角形の外心や垂心が宇宙空間に存在する理由は、これらの都市が地球表面上の点であり、作られる三角形が紙の上の平面図形とは異なるためです。
3つの都市を3次元空間の座標として扱うと、その三角形の平面や中心点は地球内部だけに限定されません。特に細長い配置の三角形では、外心や垂心が大きく離れた位置になることがあります。
つまり、これは計算ミスや奇妙な現象ではなく、地球という球体の上にある点を数学的な三角形として扱った結果として自然に起こる現象なのです。
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