ルジャンドル多項式は、物理学や数学で広く利用される重要な直交多項式の一つです。定義式としてPn(x)=1/(2^n n!) d^n/dx^n(x^2-1)^nで与えられるとき、隣り合う次数の多項式を結ぶ漸化式を導くことができます。この記事では、この定義から(n+1)Pn+1(x)-(2n+1)xPn(x)+nPn-1(x)=0が成立することを示す流れを、計算の意味を確認しながら解説します。
ルジャンドル多項式の定義と証明する漸化式
ルジャンドル多項式Pn(x)は、ロドリゲスの公式と呼ばれる次の式で定義されます。
Pn(x)=1/(2^n n!) d^n/dx^n (x^2-1)^n
今回示すべき式は、隣接する3つの次数の多項式の関係を表す三項漸化式です。
(n+1)Pn+1(x)-(2n+1)xPn(x)+nPn-1(x)=0
これはルジャンドル多項式が持つ代表的な性質であり、高次の多項式を低次の多項式から順番に求める際にも利用されます。
ロドリゲスの公式を用いた準備
定義式を扱いやすくするため、
Rn(x)=(x^2-1)^n
と置きます。このとき、
Pn(x)=1/(2^n n!) Rn^(n)(x)
となります。
ここで重要なのは、次数nの多項式をn回微分することでPn(x)が得られるという点です。隣接するPn+1、Pn、Pn-1を比較するためには、それぞれの定義式を同じ微分次数にそろえる必要があります。
Pn+1とPnの関係を作る
Pn+1(x)の定義は、
Pn+1(x)=1/(2^(n+1)(n+1)!) d^(n+1)/dx^(n+1)(x^2-1)^(n+1)
です。
ここで、
(x^2-1)^(n+1)=(x^2-1)(x^2-1)^n
と変形します。
この式をn+1回微分すると、積の微分法（ライプニッツの公式）によって、Pn(x)を含む項が現れます。
特に、x^2-1を微分した場合、一次微分は2x、二次微分は2となるため、3項だけが残り、Pn+1、Pn、Pn-1を結ぶ関係式が得られます。
微分計算から三項漸化式を導く
ライプニッツの公式を用いると、
d^(n+1)/dx^(n+1)((x^2-1)(x^2-1)^n)
には以下の3種類の項が現れます。
- (x^2-1)をそのまま残す項
- (x^2-1)を1回微分する項
- (x^2-1)を2回微分する項
これらを整理すると、Pn+1(x)、xPn(x)、Pn-1(x)の係数がそれぞれ現れます。
係数を整理した結果、
(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)
となります。
両辺を左辺へ移項すると、
(n+1)Pn+1(x)-(2n+1)xPn(x)+nPn-1(x)=0
となり、求める漸化式が成立します。
漸化式が成り立つ理由を直感的に理解する
ルジャンドル多項式は次数が1つ上がるごとに独立した多項式になるわけではなく、直交性を持つため、隣り合う次数同士に一定の関係があります。
例えば、P0(x)=1、P1(x)=xであり、漸化式を利用するとP2(x)、P3(x)と順番に求めることができます。
このように三項漸化式は、複雑な高階微分を毎回計算する代わりに、低い次数の多項式から効率よく次の多項式を作るための重要な道具になります。
まとめ：ロドリゲスの公式からルジャンドル多項式の漸化式を導く
ルジャンドル多項式の定義であるロドリゲスの公式から三項漸化式を導くには、(x^2-1)^(n+1)を(x^2-1)(x^2-1)^nとして積の微分法を利用することがポイントです。
微分すると0次、1次、2次の微分だけが残るため、Pn+1(x)、xPn(x)、Pn-1(x)の3つの項だけで表されます。
その結果、
(n+1)Pn+1(x)-(2n+1)xPn(x)+nPn-1(x)=0
というルジャンドル多項式の基本的な漸化式が得られます。この関係式は、数学だけでなく物理学における球面調和関数やポテンシャル問題などでも重要な役割を果たしています。
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