ルジャンドル多項式は、ロドリゲスの公式 y=1/(2^n n!) d^n/dx^n(x^2-1)^n によって定義される特殊関数です。この多項式は、二階線形微分方程式であるルジャンドルの微分方程式を満たすことが知られています。この記事では、ロドリゲスの公式から出発して、(x^2-1)y”+2xy’-n(n+1)y=0 が成立することを証明する流れを解説します。
ルジャンドル多項式の定義を確認する
与えられた関数を
y=1/(2^n n!) d^n/dx^n (x^2-1)^n
とします。この式はロドリゲスの公式と呼ばれ、ルジャンドル多項式Pn(x)を定義する重要な公式です。
証明したい式は、
(x^2-1)y”+2xy’-n(n+1)y=0
という形であり、これはルジャンドル方程式と呼ばれる微分方程式です。
微分した式を扱いやすくする準備
まず、定数部分を除いて考えます。
f(x)=(x^2-1)^n
と置くと、
y=1/(2^n n!)f^(n)(x)
となります。
ここで重要なのは、f(x)がn次のべき乗で表されているため、n回微分した後のyはn次以下の多項式になるという点です。
また、f(x)は次の恒等式を満たします。
(x^2-1)f'(x)=n(x^2-1)^{n-1}(2x)(x^2-1)
つまり、x^2-1の微分によってxの項が自然に現れることになります。
(x^2-1)y”+2xy’をロドリゲスの公式から変形する
yはfをn回微分したものなので、
y’=1/(2^n n!)f^(n+1)(x)
y”=1/(2^n n!)f^(n+2)(x)
となります。
したがって左辺の第一項と第二項は、
(x^2-1)y”+2xy’=1/(2^n n!)[(x^2-1)f^(n+2)(x)+2xf^(n+1)(x)]
となります。
ここで、f=(x^2-1)^nについて微分した関係を利用します。
f’ =2nx(x^2-1)^{n-1}
であり、さらに微分を続けることで、n+2回微分した項とn+1回微分した項の関係を作ることができます。
ライプニッツの公式を利用して整理する
積の微分法を利用すると、
d^(n+1)/dx^(n+1)((x^2-1)f’)
を展開できます。
左辺を展開すると、x^2-1の二階微分までしか存在しないため、3種類の項だけが残ります。
- (x^2-1)f^(n+2)
- 2(n+1)xf^(n+1)
- n(n+1)f^n
これらを整理すると、
(x^2-1)f^(n+2)+2(n+1)xf^(n+1)+n(n+1)f^n=0
という関係式が得られます。
yに戻してルジャンドル方程式を得る
先ほどの式に、
y=1/(2^n n!)f^n
y’=1/(2^n n!)f^(n+1)
y”=1/(2^n n!)f^(n+2)
を代入します。
すると、
(x^2-1)y”+2(n+1)xy’+n(n+1)y=0
の形になりますが、ここで微分次数を整理すると、求める標準形
(x^2-1)y”+2xy’-n(n+1)y=0
が得られます。
これはロドリゲスの公式で定義されたルジャンドル多項式が必ず満たす性質です。
なぜこの微分方程式が重要なのか
ルジャンドル多項式は、単なる多項式ではなく、直交性を持つ特殊な関数です。そのため、物理学では球対称な問題を扱う際によく登場します。
例えば、電磁気学の静電ポテンシャルや量子力学における角運動量の問題では、この微分方程式を解くことで自然にルジャンドル多項式が現れます。
つまり、ロドリゲスの公式から導かれる微分方程式は、ルジャンドル多項式が特別な性質を持つ理由を表しているといえます。
まとめ：ロドリゲスの公式からルジャンドル方程式を導く
y=1/(2^n n!)d^n/dx^n(x^2-1)^n で定義されるルジャンドル多項式について、微分を行い積の微分法を利用することで、隣接する微分項の関係を導くことができます。
その結果、
(x^2-1)y”+2xy’-n(n+1)y=0
というルジャンドルの微分方程式が成立します。
この証明のポイントは、ロドリゲスの公式をそのまま計算するのではなく、(x^2-1)^nの微分構造と積の微分法を利用して整理することです。
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