対数を含む不等式は、見た目が複雑で苦手意識を持ちやすい分野の一つです。特に底が異なるlogが混ざる問題では、どこから手をつければよいか迷いやすくなります。本記事では、典型問題「(log₃x)²−2log₉x−2≧0」を例に、基本の考え方から順番に解き方を整理します。
まずは定義域を確認する
対数関数logは中身が正でないと定義されないため、まずx>0が必要です。
この条件を無視すると誤った解答になるため、最初に必ず確認します。
例えばx=0や負の数はそもそもlogの対象外です。
底をそろえる準備をする
今回のポイントはlog₉xをlog₃xで表すことです。
9は3²なので、log₉x＝log₃x÷2と変形できます。
例えば底の変換を使うと、すべてlog₃で統一できるようになります。
文字置き換えでシンプルな式にする
log₃x＝tとおくと、式はt²−2(t/2)−2≧0になります。
整理するとt²−t−2≧0という二次不等式になります。
例えばlog問題はこの「置き換え」で一気に単純化できます。
二次不等式を解く
t²−t−2＝(t−2)(t+1)と因数分解できます。
よって解はt≦−1 または t≧2となります。
例えば符号の変化を数直線で考えると理解しやすくなります。
元の変数に戻す
t＝log₃xなので、それぞれ戻すとlog₃x≦−1 または log₃x≧2です。
これを指数に直すとx≦1/3 または x≧9となります。
例えばlogの逆変換は3の何乗かを意識するとスムーズです。
まとめ：log問題は「底統一＋置き換え」が鍵
対数の不等式は、まず定義域を確認し、底をそろえることが重要です。
その後は文字置き換えで二次式に変換すると一気に解きやすくなります。
基本手順を覚えれば、同じタイプの問題にも安定して対応できます。
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