対数不等式を解く途中で現れる「-4≦x≦1」という結果は、どのように出てきたのか分かりにくい部分です。特に因数分解後の不等式の解の範囲がなぜそのようになるのかは、数直線の考え方を理解するとスッキリ整理できます。本記事ではその部分を中心に、流れを丁寧に解説します。
まずは式の整理（因数分解まで）
問題はlogの性質を使って (x+1)(x+2)≦6 まで整理されています。
そこからすべて左辺に移すと x²+3x-4≦0 になります。
例えばこの形は「典型的な二次不等式」として扱います。
因数分解して形を確認する
x²+3x-4は (x+4)(x-1) に因数分解できます。
この形にすると「どこで0になるか」がすぐに分かります。
例えばx=-4とx=1で式が0になることが重要なポイントです。
なぜ -4 と 1 が境界になるのか
不等式 (x+4)(x-1)≦0 は「掛け算の結果が0以下」という意味です。
そのため、どちらか一方が負で、もう一方が正の区間を探します。
例えば数直線上で符号が変わる点が -4 と 1 になります。
数直線で考えると一発で理解できる
-4より左では両方の因数が負になるため正の値になります。
-4から1の間では符号が異なり、積が負になります。
例えばこの「符号の変化」が不等式の解の核心です。
なぜ -4≦x≦1 になるのか
「≦0」を満たすのは積が負または0になる区間です。
そのため符号が切り替わる -4 と 1 を含む区間が解になります。
例えば境界値は必ず含まれることを意識すると整理できます。
最後に真数条件をかけ合わせる
元の問題ではx>-1、x>-2の条件も必要です。
これにより最終的に -1＜x≦1 という範囲になります。
例えば「途中の解」と「条件の交差」が最終答えになります。
まとめ：二次不等式は符号の変化で考える
「-4≦x≦1」は因数分解後の符号変化を数直線で見た結果です。
二次不等式は解の公式よりも符号の変化で理解する方が確実です。
条件を最後に重ね合わせることで正しい解が完成します。
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