arctan²xのべき級数展開の解き方｜基本公式から丁寧に導出

べき級数展開の問題では、既知の基本級数を組み合わせていくことが重要です。本記事では、関数 (arctan x)^2 をべき級数として展開する方法を、基本公式から段階的に解説します。

まずはarctan xの基本級数を確認する

べき級数展開の出発点は arctan x の展開です。

arctan x = x – x^3/3 + x^5/5 – x^7/7 + … （|x| ≤ 1）という基本式を使います。

この形を利用して二乗の展開を考えます。

(arctan x)^2 は、上の級数をそのまま2乗することで求めます。

つまり (x – x^3/3 + x^5/5 – … )² を展開します。

ここで重要なのは項ごとの積を整理することです。

まずx²の項は x×x から x²になります。

x⁴の項は x×(-x³/3) と (-x³/3)×x の和から -2x⁴/3 になります。

このように次数ごとに整理していきます。

x⁶の項は複数の組み合わせから計算されます。

具体的には x×(x⁵/5), (-x³/3)×(-x³/3), (x⁵/5)×x などを合計します。

整理すると x⁶(2/5 + 1/9) となり、係数を通分してまとめます。

全体をまとめると、(arctan x)^2 は偶数次の項だけで構成されます。

計算を進めると x² – 2x⁴/3 + (23/45)x⁶ – … のような形になります。

各項は畳み込み和として系統的に求めることができます。

(arctan x)^2 のべき級数展開は、arctan x の基本級数を二乗して整理することで求められます。

項ごとの積を丁寧に整理することで、偶数次の項だけの級数になります。

基本級数の理解がそのまま解法の鍵となります。