arcsin²xのべき級数展開｜基本公式から丁寧に導く解法

逆三角関数のべき級数展開は、基本公式を正しく使いこなすことが重要です。本記事では、(arcsin x)^2 をべき級数として展開する方法を、基礎から段階的に解説します。

まずはarcsin xの基本級数を確認する

べき級数展開の出発点は arcsin x の既知の展開です。

arcsin x = x + x^3/6 + 3x^5/40 + 5x^7/112 + … （|x| ≤ 1）という形になります。

この級数を基に二乗の展開を行います。

(arcsin x)^2 は、上の級数をそのまま二乗して整理することで求めます。

つまり (x + x^3/6 + 3x^5/40 + … )² を展開します。

項ごとの積を整理することがポイントになります。

まずx²の項は x×x により x² となります。

x⁴の項は x×(x³/6) と (x³/6)×x の和から 2×x⁴/6 = x⁴/3 となります。

このように同じ次数の項を集めて整理します。

x⁶の項は複数の組み合わせから生じます。

例えば x×(3x⁵/40)、(x³/6)×(x³/6)、(3x⁵/40)×x などを合計します。

整理すると係数は 2×3/40 + 1/36 = 3/20 + 1/36 となります。

通分して整理すると x⁶ の係数が求まります。

(arcsin x)^2 のべき級数は偶数次の項のみで構成されます。

各項は畳み込み（コーシー積）によって体系的に求めることができます。

計算は複雑ですが、規則性を理解すれば機械的に導出できます。

(arcsin x)^2 のべき級数展開は、arcsin x の基本級数を二乗し整理することで求められます。

項ごとの畳み込みを丁寧に行うことで、係数を順に導出できます。

基本級数と計算手順の理解が解答の鍵となります。