高校数学の二次方程式と関数の最大・最小問題の解き方と例題解説

高校数学では、二次方程式の実数解の個数や、区間を指定した関数の最大値・最小値を求める問題が頻出です。ここでは、代表的な例題を通して、解法の手順と考え方をわかりやすく解説します。

① 二次方程式の実数解の個数を求める方法

例題：−2x^2 + 4mx + m − 3 = 0 の実数解の個数をmの条件で調べる。

手順。

• 判別式を利用する：二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 の判別式 D = b^2 − 4ac
• D > 0 → 実数解2個, D = 0 → 実数解1個, D < 0 → 実数解なし

ここでは a = −2, b = 4m, c = m − 3 なので D = (4m)^2 − 4(−2)(m − 3) = 16m^2 + 8(m − 3) = 16m^2 + 8m − 24

解の個数条件に応じて不等式を解くことで、mの範囲を求めます。

② 区間指定された二次関数の最小値・最大値の求め方

例題：y = x^2 − 2x, a ≤ x ≤ a+1

手順。

• 平方完成して y = (x − 1)^2 − 1 とする
• 頂点1での値 y = −1 と、区間端点 x = a, x = a+1 での値 y = a^2 − 2a, (a+1)^2 − 2(a+1) を比較
• 最小値 = 区間内の最小値、最大値 = 区間内の最大値

③ 最大値・最小値から定数を求める方法

例題：y = ax^2 − 4ax + b, 1 ≤ x ≤ 4, 最大値 6, 最小値 −2, a ≠ 0

手順。

• 平方完成して y = a(x^2 − 4x) + b = a[(x − 2)^2 − 4] + b = a(x − 2)^2 − 4a + b
• 頂点での値 y(2) = −4a + b と、区間端点 y(1), y(4) を計算
• 最大値と最小値を条件として連立方程式を作り、a, bを求める

解法のポイントまとめ

• 二次方程式の実数解の個数は判別式 D = b^2 − 4ac を使って条件を整理する
• 関数の最大・最小値は平方完成で頂点の値を求め、区間端点の値と比較する
• 最大値・最小値から未知の定数を求める場合も、平方完成と端点の値を活用する

これらの手順を押さえておくと、高校数学の二次方程式・二次関数の典型問題を効率よく解くことができます。