方程式x²＋tan²x＝1（0<x<π/2）のように、三角関数を含む方程式の解の存在を示す問題では、中間値の定理を利用することがよくあります。しかし、中間値の定理は通常「閉区間」で考えるため、問題の範囲が開区間になっている場合にどのように適用すればよいか迷うことがあります。この記事では、このような開区間での中間値の定理の使い方や、実際に解の存在を証明する流れを詳しく解説します。
中間値の定理を使うための基本的な考え方
中間値の定理とは、連続な関数f(x)について、区間[a,b]でf(a)とf(b)が異符号ならば、その間に必ずf(x)=0となる点が存在するという定理です。
つまり、方程式の解の存在を示したい場合は、もとの方程式を「ある関数が0になる問題」に変形し、その関数の値が正から負、または負から正へ変化することを示します。
今回の方程式では、
f(x)=x²＋tan²x−1
と置くことで、f(x)=0となるxが存在することを示す問題になります。
開区間0<x<π/2でも中間値の定理は使えるのか
中間値の定理は基本的には閉区間[a,b]で用います。そのため、問題の条件が0<x<π/2という開区間の場合、「そのまま0とπ/2を代入すればよい」と考えるのは正しくありません。
しかし、開区間の中から適切な2点を選べば、中間値の定理を利用することができます。
重要なのは、区間の端が0やπ/2である必要はなく、関数が連続な任意の閉区間を開区間の内部に作ればよいという点です。
例えば、0<a<b<π/2を満たすa,bを選び、[a,b]について中間値の定理を適用します。
実際にf(x)=x²＋tan²x−1で考える
関数
f(x)=x²＋tan²x−1
を考えます。この関数は0<x<π/2の範囲で連続です。なぜなら、x²は連続関数であり、tan xもcos x≠0の範囲では連続だからです。
次に、区間内の2つの値を調べます。
xが0に近い場合、
f(x)≈0²＋0²−1=−1
となるため、f(x)は負になります。
一方、xがπ/2に近づくと、tan xは無限大に近づくため、
f(x)=x²＋tan²x−1
は正の大きな値になります。
したがって、0<x<π/2の中には、f(x)が負になる点と正になる点が存在します。
開区間の場合の正しい証明の書き方
開区間であることを意識した証明では、次のような書き方をします。
まず、f(x)=x²＋tan²x−1とおく。この関数は0<x<π/2で連続である。
次に、例えばx=π/6を考えると、
f(π/6)=(π/6)²＋tan²(π/6)−1
となり、π/6ではtan(π/6)=1/√3なので、
f(π/6)=π²/36＋1/3−1=π²/36−2/3
となります。π²/36は約0.27なので、
f(π/6)<0
です。
また、例えばx=π/3では、
f(π/3)=π²/9+tan²(π/3)−1=π²/9+3−1
となり、
f(π/3)>0
です。
よって、f(x)は区間[π/6,π/3]で連続かつ、
f(π/6)<0<f(π/3)
を満たします。
したがって中間値の定理より、π/6<x<π/3の範囲にf(x)=0となるxが少なくとも1つ存在します。
つまり、方程式x²＋tan²x＝1は0<x<π/2の範囲に実数解を持つことが示されます。
「異なる実数解aを持つ」と言われた場合の注意点
問題文で「異なる実数解aを持つ」と表現されている場合、解が1つ以上存在することだけではなく、複数の解が存在する可能性を調べる必要があります。
ただし、今回のような形では、f(x)=x²＋tan²x−1は区間内で単調増加する性質があります。
xが大きくなるほどx²は増加し、tan²xも増加するため、f(x)も増加します。そのため、条件によっては解の個数を1つに絞ることもできます。
問題文の「異なる」という表現がある場合は、単に存在を示すだけなのか、2つ以上の解を示す必要があるのかを確認することが重要です。
まとめ｜開区間でも中間値の定理は内部の閉区間を作れば使える
中間値の定理は基本的に閉区間で利用する定理ですが、問題の条件が開区間だからといって使えないわけではありません。
今回のように0<x<π/2の場合は、開区間の内部からπ/6やπ/3など適切な2点を選び、その間の閉区間で中間値の定理を適用します。
ポイントは「区間の端で考える」のではなく、「連続性が保証される範囲内で符号が変化する2点を探す」ことです。この考え方を身につけると、三角関数を含む方程式の解の存在証明にも対応できるようになります。
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