2つの円が接する条件から中心座標を求める問題では、円の中心間の距離に注目することが重要です。特に、一方の円の中心が原点にあり、もう一方の円の中心が特定の直線上にある場合は、三平方の定理を利用することで座標を求めることができます。この記事では、半径80の円同士が接するとき、x=122上にある円の中心座標を求める考え方を詳しく解説します。
2つの円が接する条件を確認する
まず、円Aは原点を中心とする半径80の円です。そのため、円Aの中心座標は
(0,0)
となります。
円Bは半径80で、中心が直線x=122上にあるため、中心座標を
(122,y)
と置くことができます。
ここで求めたいのは、y座標がマイナスになる場合のyの値です。
2つの円が外接するとき、中心間の距離はそれぞれの半径の和になります。
今回、2つの円の半径はともに80なので、中心間の距離は
80+80=160
になります。
中心間の距離から方程式を作る
円Aの中心(0,0)と円Bの中心(122,y)の距離は、座標間の距離の公式より、
√((122−0)²+(y−0)²)
で求められます。
接する条件では、この距離が160になるため、
√(122²+y²)=160
という方程式が成り立ちます。
両辺を2乗すると、
122²+y²=160²
となります。
y座標を計算する
それぞれの数値を計算すると、
122²=14884
160²=25600
なので、
14884+y²=25600
となります。
したがって、
y²=25600−14884
y²=10716
です。
よって、
y=±√10716
となります。
√10716を簡単にすると、
10716=4×2679
なので、
y=±2√2679
となります。
今回は「y座標がマイナスの方」を求めるため、
y=−2√2679
となります。
円Bの中心座標を求める
円Bの中心は(x,y)=(122,y)と設定していました。
求めたy座標を代入すると、円Bの中心座標は、
(122,−2√2679)
になります。
近似値で表すと、√2679は約51.76なので、
y≈−103.5
となり、中心座標はおよそ
(122,−103.5)
です。
図形問題で円の接点を考えるときのポイント
2つの円が接する問題では、接点そのものを求めようとするよりも、まず中心同士を結んだ線分に注目すると解きやすくなります。
円同士が外接する場合は中心間距離が半径の和、内接する場合は半径の差になるという性質があります。
今回の問題では、半径80の円同士なので中心間距離が160になることが最も重要なポイントです。
また、座標問題では中心の片方が固定されている場合、もう一方を(x,y)と置き、距離の公式を使うことで多くの場合は解決できます。
まとめ｜円の接点条件は中心間距離で考える
原点中心の半径80の円と、x=122上に中心を持つ半径80の円が接するとき、円Bの中心を(122,y)と置いて中心間距離を計算します。
接する条件から、
√(122²+y²)=160
を作り、計算すると、
y=±2√2679
になります。
y座標がマイナスの方を選ぶため、求める円Bの中心座標は
(122,−2√2679)
です。
このように、円の位置関係を考える問題では「中心間の距離」を基準にすると、座標や図形の条件を整理しやすくなります。
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