高校受験レベルで解説：三角形 ABC の内接円と外接円の半径を求める方法

今回は高校受験でよく出る三角形の内接円と外接円の半径の求め方を、具体例を通して解説します。与えられた条件は AB=6, AC=4, ∠CAB=120° の三角形 ABC です。

ステップ1：三角形の辺 BC を求める

まず余弦定理を使って BC を求めます。

余弦定理: BC² = AB² + AC² – 2·AB·AC·cos(∠A)

BC² = 6² + 4² – 2·6·4·cos120°

cos120° = -1/2 なので。

BC² = 36 + 16 – 2·6·4·(-1/2) = 52 + 24 = 76

よって BC = √76 = 2√19

面積 S は次の公式で求めます。

S = (1/2)·AB·AC·sin(∠A)

sin120° = √3/2

S = (1/2)·6·4·(√3/2) = 12·(√3/2) = 6√3

内接円の半径 r は面積と半周長から求められます。

半周長 s = (AB + AC + BC)/2 = (6 + 4 + 2√19)/2 = (10 + 2√19)/2 = 5 + √19

内接円半径 r = S / s = 6√3 / (5 + √19)

外接円半径 R は次の公式で求められます。

R = (AB·AC·BC)/(4·S) = (6·4·2√19)/(4·6√3) = (48√19)/(24√3) = 2·√(19/3)

与えられた三角形 ABC について。

このように、余弦定理と内接円・外接円の公式を使うことで、高校受験レベルの三角形の円の半径を求めることができます。