三角関数の合成：sinθ + (2√3)cosθ の解法とステップ

三角関数の合成問題でよく出題されるのが、sinθ + (2√3)cosθ のような式です。こういった問題では合成の公式をうまく活用することが求められますが、どうしても上手くいかない場合があります。今回はその解法ステップを詳しく解説します。

三角関数の合成とは

三角関数の合成は、異なる三角関数の項を1つの三角関数の形にまとめることです。例えば、sinθとcosθを合わせて1つの関数にすることで、計算が簡単になります。このような合成を行うための公式や手法について、以下で説明します。

sinθ + (2√3)cosθ を合成する方法

この式を合成するためには、まず次の形式に合わせることを目指します：
Rsin(θ + α) = sinθ + (2√3)cosθ

この式の右辺が合成された形になりますが、左辺のRとαを求めることが必要です。次に、この式の両辺を比較し、Rとαを求めます。

Rとαの求め方

式 Rsin(θ + α) の左辺を展開すると、次のように分解できます。
Rsin(θ + α) = R(sinθcosα + cosθsinα)
ここで、sinθ + (2√3)cosθ に一致させるためには、Rcosα = 1 と Rsinα = 2√3 の2つの方程式を得ることができます。これらの方程式からRとαを計算することができます。

具体的な計算

まず、Rcosα = 1 と Rsinα = 2√3 を使ってRを求めます。これを2つの方程式で平方して足し合わせると、
R² = (Rcosα)² + (Rsinα)² = 1² + (2√3)² = 1 + 12 = 13
したがって、R = √13 となります。

次に、αを求めます。tanαは、Rsinα / Rcosα で求められ、
tanα = (2√3) / 1 = 2√3
したがって、αは tan⁻¹(2√3) となります。

まとめ

sinθ + (2√3)cosθ の合成問題は、Rとαを求めることで1つの三角関数の形にまとめることができます。この方法を理解しておけば、類似の問題にも対応できるようになります。しっかりと計算を行い、合成の公式を活用しましょう。