数Ⅱで学ぶ直線の方程式では、「ある点を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式」を求める問題が頻繁に出題されます。このとき、傾きは正しく求められているのに、切片の計算で間違えてしまうケースは少なくありません。この記事では、垂直な直線の方程式を求める手順と、なぜ切片が2ではなく1になるのかを具体例で解説します。
垂直な直線の傾きの求め方
与えられた直線が y=3x+1 の場合、傾きは3です。
2つの直線が垂直であるとき、傾きの積は-1になります。
したがって、求める直線Lの傾きは次のようになります。
3×m=-1
よって、m=-1/3です。
ここまでは多くの人が正しく求められます。
点(3,1)を通る条件を使う
傾きが-1/3であることが分かったので、直線Lを
y=-1/3x+b
とおきます。
この直線は点(3,1)を通るので、x=3、y=1を代入します。
1=-1/3×3+b
1=-1+b
b=2
したがって求める直線は
y=-1/3x+2
となります。
なぜ「y=-1/3x」ではないのか
もし答えが y=-1/3x であれば、この直線は原点(0,0)を通ります。
実際に問題の条件である点(3,1)がこの直線上にあるか確認してみましょう。
x=3を代入すると
y=-1/3×3=-1
となります。
つまり、この直線は(3,-1)を通り、問題の条件である(3,1)を通りません。
したがって y=-1/3x は条件を満たしていないことが分かります。
解答が違う場合に考えられること
もし学校の解答や問題集に「y=-1/3x」とだけ書かれている場合は、いくつかの可能性があります。
- 問題文の点が実際は(3,-1)だった
- 印刷ミスや誤植である
- 問題の写し間違いがある
与えられた条件が本当に「(3,1)を通る」であれば、計算上は必ず切片が2になります。
点と傾きから直線を求める別解
点(3,1)と傾き-1/3が分かっているので、点傾き式を使う方法もあります。
y-1=-1/3(x-3)
これを展開すると
y-1=-1/3x+1
y=-1/3x+2
となり、同じ答えが得られます。
試験ではこちらの方法の方が計算ミスを減らせることがあります。
まとめ
直線 y=3x+1 に垂直な直線の傾きは -1/3 です。さらに点(3,1)を通る条件を代入すると切片は2になり、求める方程式は y=-1/3x+2 となります。
したがって、問題文が「点(3,1)を通る」であるならば、切片がない y=-1/3x は条件を満たしません。もし解答がそのようになっている場合は、問題文や解答の誤植、写し間違いがないか確認してみるとよいでしょう。
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