∫√((1-x²/3)³)dx の解き方｜三角置換を使った不定積分の計算手順を詳しく解説

平方根の中に二次式があり、さらにべき乗がかかっている不定積分は、三角置換によって整理できることが多くあります。ここでは、∫√((1-x²/3)³)dx の求め方を、途中計算を含めてわかりやすく解説します。

問題

次の不定積分を求めます。

∫√((1-x²/3)³)dx

まず平方根と指数を整理すると、

∫(1-x²/3)^(3/2)dx

となります。

三角置換を行う

式の中に 1-x²/3 があるため、

x=√3 sinθ

と置換します。

すると、

• dx=√3 cosθ dθ
• 1-x²/3=1-sin²θ=cos²θ

よって積分は

√3∫cos⁴θ dθ

に変換されます。

cos⁴θ の積分

倍角公式を利用すると、

cos⁴θ=(3+4cos2θ+cos4θ)/8

したがって、

√3∫cos⁴θ dθ=√3[(3θ)/8+(sin2θ)/4+(sin4θ)/32]+C

となります。

x に戻す

x=√3sinθ より

θ=arcsin(x/√3)

また、

sin2θ=2x√(1-x²/3)/√3

sin4θ=4x(1-2x²/3)√(1-x²/3)/√3

を利用して整理すると、

∫(1-x²/3)^(3/2)dx=(3√3/8)arcsin(x/√3)+x(15-2x²)√(1-x²/3)/24+C

答えの確認

得られた原始関数を微分すると、積と合成関数の微分によって元の被積分関数 (1-x²/3)^(3/2) が再現されます。

このタイプの問題では、三角置換によって平方根を消し、三角関数の積分へ持ち込むのが基本戦略です。

類題への応用

√(a²-x²)、√(a²+x²)、√(x²-a²) の形を含む積分では、三角置換や双曲線関数置換が有効です。

今回の問題は最初のパターンに該当します。

まとめ

不定積分 ∫√((1-x²/3)³)dx は、(1-x²/3)^(3/2) と整理した後、x=√3sinθ の三角置換を行うことで計算できます。最終結果は (3√3/8)arcsin(x/√3)+x(15-2x²)√(1-x²/3)/24+C です。平方根の中に二次式が現れたら、三角置換を検討することが重要なポイントです。