光源からの反射角条件で求める極座標曲線の導出

本記事では、極Oから出る光線が曲線上の点P(r,θ)で反射し、光線OPとなす角がθとなる条件に基づいて曲線を求める方法を解説します。条件として、θ=0のときr=2aとします。

問題の整理

極座標系を用い、曲線をr=r(θ)として表します。光線OPの接線とのなす角がθとなるという条件は、微分を使った反射条件として表現できます。

極座標での接線の傾きは、rとθの関係から次の式で表されます。
tan(φ) = (r dθ)/(dr)

光線が接線で反射する際の角度条件から、dθ/drとrの関係式が導かれます。これにより微分方程式を立てます。

反射条件と接線の傾きから、次の微分方程式が得られます。
dr/dθ = r tan θ

初期条件として、θ=0のときr=2aを設定します。

dr/r = tan θ dθを積分すると、ln r = -ln cos θ + Cとなります。初期条件よりC=ln(2a)となり、最終的に曲線の方程式は次のようになります。
r(θ) = 2a / cos θ

このようにして、光線が接線で反射しOPとなす角がθとなる曲線は、極座標で r(θ) = 2a / cos θ となります。この方法は、微分方程式を立てて初期条件を用いることで、極座標曲線を特定する典型例となります。