三次方程式と剰余の定理を完全解説！P(1)・P(-1)から実数解と虚数解を求める入試レベル問題

三次方程式の問題では、剰余の定理や因数定理を利用すると複雑に見える式も整理できます。本記事では、P(1)とP(-1)の条件から係数を求め、方程式の実数解や虚数解の条件までを順番に解説します。高校数学の典型問題として、考え方を理解しながら解き進めていきましょう。

問題の条件からbとcを求める

与えられた整式はP(x)=x^3-(a+2)x^2+bx+cです。

P(1)=-1より、

1-(a+2)+b+c=-1

したがって、

b+c=a

・・・①

またP(-1)=-6a-3より、

-1-(a+2)-b+c=-6a-3

整理すると、

c-b=-5a

・・・②

①と②を連立すると、

b=3a

c=-2a

よって、[ア]=3a、[イ]=-2aとなります。

x²-1で割った余りを求める

x²-1=(x-1)(x+1)なので、余りをR(x)=mx+nとおきます。

P(1)=R(1)=-1、P(-1)=R(-1)=-6a-3を利用します。

m+n=-1

-m+n=-6a-3

これを解くと、

m=3a+1

n=-3a-2

したがって余りは、

R(x)=(3a+1)x-(3a+2)

よって、[ウ]=(3a+1)x-(3a+2)です。

aによらない実数解を見つける

b=3a、c=-2aを代入すると、

P(x)=x^3-(a+2)x^2+3ax-2a

aを含む項をまとめると、

P(x)=x^3-2x^2-a(x^2-3x+2)

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)なので、

P(x)=x^2(x-2)-a(x-1)(x-2)

共通因数(x-2)をくくると、

P(x)=(x-2){x^2-a(x-1)}

したがってaの値に関係なく、

x=2

が常に解です。

よって、[エ]=2となります。

虚数解をもつaの範囲

残りの解は、

x^2-a(x-1)=0

つまり、

x^2-ax+a=0

です。

判別式Dは、

D=a^2-4a=a(a-4)

虚数解をもつためにはD<0である必要があります。

したがって、

0<a<4

よって、[オ]=0<a<4です。

実部が整数となる虚数解を求める

二次方程式の解は、

x=(a±√(a^2-4a))/2

虚数解の場合、実部はa/2です。

実部が整数で、かつ0<a<4を満たすaは、

• a=2

のみです。

a=2を代入すると、

x^2-2x+2=0

解は、

x=1±i

となります。

したがって、

[カ]=2

[キ]=1

解答一覧とまとめ

この問題では剰余の定理、因数分解、判別式の知識を組み合わせて解きます。

特にP(1)とP(-1)から係数を求める流れと、三次式を因数分解してaによらない解を見つける考え方は入試でも頻出です。途中式を丁寧に追うことで、同種の問題にも対応できるようになります。